Логарифмическая функция.

определяется как функция, обратная показательной функции, т.е. из уравнения

Отсюда следует определение логарифмической функции:

(1.16)

Если положить k = 0 и наложить ограничение на , то получим однозначную ветвь логарифмической функции, которую называют главным значением логарифмической функции и обозначают

(1.17)

Пример 1.19

, .

Отсюда следует, что

. Главное значение .

Пример 1.20

Найти .

Решение

= = = ;

Окончательно,

Если положить k = 0, то получим главное значение логарифма

Производная функции комплексной переменной

И понятие аналитичности

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю:

(1.18)

Если этот предел существует при по произвольному пути, то функция называется дифференцируемой в точке z. Если функция дифференцируема во всех точках области , то она называется аналитической в этой области.

Теорема: если функция имеет непрерывные частные производные, то для аналитичности функции в этой области необходимо и достаточно выполнение условий

;

(1.19)

Докажем необходимость этих условий. Рассмотрим предел

По условию функция является аналитической, поэтому этот предел не зависит от пути, по которому .

Пусть сначала , а затем , тогда

(1.20)

Пусть теперь сначала , а затем , тогда

(1.21)

В силу аналитичности функции выражения (1.20) и (1.21) равны. Приравнивая их действительные части, получим первое равенство (1.19), а равенство мнимых частей приводит ко второму соотношению (1.19). Достаточность условий (1.19) примем без доказательства.

Соотношения (1.19) называются условиями Коши - Римана (иногда их так же называют условиями Даламбера - Эйлера).

Проверим выполнение условий (1.19) для функции .

, ;

, .

Оба условия (1.13) выполняются, поэтому показательная функция является аналитической. Аналогично можно доказать аналитичность всех остальных основных элементарных функций. То же относится ко всем вообще элементарным функциям, т.е. к функциям, которые составляются из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и операции взятия функции от функции.

Пример 1.21.

1) - элементарная функция, следовательно она является аналитической всюду, кроме точки , в которой эта функция не определена.

2) - функция не аналитическая: , , условия (1.19) не выполняются.

Дифференцирование функций комплексного переменного

При выводе условий (1.19) были получены две формулы вычисления производной

(1.22)

(1.23)

Рассмотрим функцию

Найдем ее производную по формуле (1.22): .

, , .

Аналогично можно показать, что справедливы все формулы и правила дифференцирования, известные из теории функций действительного переменного:

, ,,,,.

Интегрирование функций

Комплексной переменной

Пусть L некоторый контур в комплексной плоскости, функция комплексной переменной z, а функции двух действительных переменных и являются соответственно действительной и мнимой частью функции , то