ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЁТКА ПРОХОДЯЩЕГО СВЕТА

[8, с. 415]

 

Дифракционная решетка проходящего света представляет собой набор узких параллельных щелей ширины (), разделенных непроз­рачными для света промежутками (). Щели и промежутки распо­ложены в одной плоскости (рис. 10.26)

 

 

Рисунок 10.26

 

Величина

(10.42)

 

носит название "постоянной дифракционной решётки". Иногда эту величину называют "периодом решетки".

Если свет освещает ще­лей решётки, величину

 

(10.43)

 

называют рабочей длиной решетки.

 

Рисунок 10.27

 

Направим плоскую монохроматическую волну длины орто­гонально плоскости решетки (рис. 10.27).

В данном случае волны дифрагируют на всех щелях и, отклоняясь на различные углы, создают максимумы и минимумы в дифракционном спектре. Расчет распределения интенсивности в дифракционном спектре, выполненный по той же методике, что и для
одной щели в разделе 10.6, дает следующее значение

 

, (10.44)

 

где определяется формулой (10.41).

Анализ формулы (10.44) показывает, что огибающая (пунктирная линия) определяется функцией (40.41), рис. 10.28. Внутри этой огибающей располагаются главные максимумы, главные минимумы, до­бавочные максимумы и добавочные минимумы.

Причем, между двумя главными максимумами располагается добавочных минимумов и добавочных максимумов.

Из рисунка 10.28 следует, что такому спектру соответствует решетка, имеющая всего 4 рабочих щели. Предельное значение для сов­ременных решёток проходящего света до 800 на 1 мм длины.

Найдем условие главных дифракционных максимумов. Рассмот­рим две волны 1 и 2, дифрагирующие вблизи краев соседних щелей под углом , рис. 10.29.

Оптическая разность хода между ними

 

. (10.45)

 

 

Рисунок 10.28

 

 

 

Рисунок 10.29

 

По условию задачи, волны 1 и 2 когерентны, следовательно,
интерферируя, они дадут согласно разделу 5.5 максимум, при условии, что

 

, 0, 1, 2, 3… (10.46)

 

Из (10.45) и (10.46) получаем условие главных дифракционных максимумов от решетки:

. (10.47)

 

Условие соответствует центру дифракционной картины.

Две любые другие волны 1′, 2′, расположенные на расстоянии , соответствуя условию (10.47), усилят яркость максимума поряд­ка под углом . Аналогичное усиление света даст попарный учет аналогичных волн от всех остальных щелей решетки.

Поскольку интерферируют волны не только от соседних щелей, но и от самых различных, наряду с главными максимумами, возникают добавочные максимумы и минимумы, определяемые функцией формулы (10.44).

Условие главных минимумов:

 

, (10.48)

 

для решетки не отличается от условия минимума для одной щели (формула (10.20)), поскольку ни одна щель, согласно (10.48) результирующей напряженности поля под углом не дает.

Для нахождения условия добавочных минимумов расчленим мыс­ленно всю рабочую поверхность решетки (включая и непрозрачные промежутки) на зоны Френеля, рис.10.30.

Из рис. 10.30 видно, что оптическая разность хода между край­ними волнами 1 и 2 составляет

 

. (10.49)

 

Согласно условиям расчленения волнового фронта на зоны Френеля число зон должно быть чётным, а величина

 

. (10.50)

 

Рисунок 10.30

 

 

Рисунок 10.31

 

 

аналогично формуле (10.17). Учитывая, что и приравнивая правые части (10.49) и (10.50) получаем условие добавочных ми­нимумов:

 

.

или

. (10.51)

 

Невыполнение условия переводит условие (10.51) в условие главных максимумов.

 

 

10.8. УСЛОВИЕ ГЛАВНЫХ МАКСИМУМОВ ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ СВЕТА НА ДИФРАКЦИОННУЮ РЕШЕТКУ [11, с. 240]

 

Направим оптическое излучение на дифракционную решётку под углом к нормали, рис. 10.31. Волны считаем плоскими и коге­рентными, с длиной λ. Постоянная решетки, как и прежде равна d.

Оптическая разность хода между волнами 1 и 2 возникает между сечениями АВ и CD и составляет величину

 

, (10.52)

 

Из

Из

Подставляя АС и ΒD в (10.52), получаем:

 

, (10.53)

 

Поскольку волны 1 и 2 когерентны, они, интерферируя, дадут максимум при

 

, (10.54)

где 0, 1, 2, 3…

Из (10.53) и (10.54) следует условие главных дифракционных максимумов, при наклонном падении света на решетку:

 

(10.55)

Заметим, что центральному максимуму ( 0) соответствует условие:

 

.

 

 

10.9. ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА
(ЭШЕЛЕТТ) [11, с. 244-248]

 

Отражательная дифракционная решетка представляет собой зеркальную поверхность специального профиля с симметричной или несимметричной формой бороздок (рис. 10.32), повторяющейся по всей поверхности решетки. Современная технология обеспечивает создание отражательных зеркальных решеток, содержащих от 100 до 2000 штрихов на 1 мм длины. Такие решетки традиционно называют ЭШЕЛЕТТАМИ, что в переводе с французского означает "ЛЕСТНИЦА"

Плоскость, проходящая через вершины штрихов решетки (Пр) (рис. 10. 32 (в)), называется плоскостью дифракционной решетки. Плоскость (Пш), совпадающая с гранью основного штриха, называется плоскостью штриха. Угол между плоскостью штриха и плоскостью дифракционной решетки называется углом БЛЕСКА (). Как видно из рис. 10. 32 (в), угол между нормалью (Np) к плоскости решетки (Пр) и нормалью (Nш) к плоскости штриха (Пш) равен углу блеска (). На всех трёх рисунках обозначены также постоянные решеток (d). Суть явле­ния дифракции, при отражении света от зеркальной профилированной поверхности была пояснена в разделе 10.1. Отражательные решетки назы­вают также, ФАЗОВЫМИ, поскольку два любых луча 1 и 2 (рис. 10.32 (в)) проходят разные пути, прежде, чем достигнут грани штриха решетки, что создает разницу пространственных компонент их фаз:

 

.

 

Аналогичная разность фаз образуется и в отраженных лучах. Заметим, что решётки проходящего света носят название АМПЛИТУДНЫХ, поскольку через щель свет проходит с максимальной амплитудой, а через запретный промежуток вообще не проходит.

Найдём условие главных максимумов для отражательной решёт­ки. Направим излучение длины волны λ под углом к норма­ли, восстановленной к плоскости решётки (рис. 10.33). Волны 1 и 2 падают на

Рисунок 10.32

 

 

Рисунок 10.33

зеркальные грани основных штрихов в точках А и В, находящихся друг от друга на расстоянии периода решетки d и дифрагируют под углом к нормали Np. Разность оптических длин путей, проходимых волнами, определяется проме­жутком между сечением АС и сечением BD.

Оптическая длина пути волны 1 в этом интервале

 

.

Для волны 2,

.

 

Следовательно,

 

, (10.56)

 

Из . (10.57)

 

Из . (10.58)

 

Из (10.56), (10.57), (10.58)

 

. (10.59)

 

Волны 1 и 2 когерентны, поэтому их вектора складываются в фазе при

 

, (10.60)

 

0, 1, 2, 3…

Из (10.59), (10.60) следует условие главных максимумов для отражатель­ной решетки:

 

. (10.61)

 

С учетом рис. 10.33, , следовательно:

 

(10.62)

 

Условие соответствует центральному максимуму ().

Распределение интенсивности в дифракционном спектре мало отличается по форме от показанного на рис. 10.28 за исключением одной важной особенности: интенсивность центрального максимума не является максимальной. Максимум наивысшей интенсивности распо­лагается в спектре 1-го или более высокого порядка.

Найдем аналитическое условие для максимума наибольшей ин­тенсивности. Опыт показывает, что интенсивность дифрагированного света максимальна в направлении зеркального отражения от штриха (рис. 10.34).

 

Рисунок 10.34

 

Действительно, если интенсивность зеркально-отраженной волны (луч 2_з) равна , то интенсивность дифрагированной волны (луч 3)

 

. (10.62)

 

Согласно рис. 10.34

 

, (10.63)

 

откуда

(10.64)

 

 

Рисунок 10.35

 

В большинстве практических случаев углы и . Следовательно, близки к 1;

и формула (10.64) упрощается

 

(10.65)

 

Подставляя (10.65) в (10.61) имеем:

 

,

 

и упрощая, получаем формулу для определения порядка глав­ного максимума, в котором отражательная решётка концентрирует свет максимально:

 

. (10.66)

Очевидно, что при малых величина зависит от периода d, угла блеска и длины волны. Формула (10.66) может быть применена для нахождения величины , если значения предварительно определены. На рис. 10.35 приведены для сравнения распределения интенсивностей в спектрах дифракционной решётки проходящего света (рис.10.35 (а)) и отражательной, для которой интенсивность максималь­на в максимуме 2-го порядка (рис. 10.35 (б)).

 

10.10. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА КАК СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИБОР [8, с. 412]

 

1) Дифракционную решетку можно использовать для анализа НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.

Если две волны с длинами и падают на решетку нормально, согласно (10.41), они дифрагируют под разными углами. Т.е. дифракционная решётка разлагает немонохроматическое излучение в спектр, в котором линии с длинами волн и наблюдаются РАЗДЕЛЬНО:

 

, (10.67)

 

. (10.68)

 

2) СУТЬ КРИТЕРИЯ РЭЛЕЯ.

Согласно (10.67) и (10.68), при малом отличии от , в фор­мулах (10.67) и (10.68) мало различаются и и максимумы начинают накладываться один на другой. В качестве способа различимости максимумов, в спектроскопии принят УСЛОВНЫЙ критерий, предложен­ный РЭЛЕЕМ:

 

Два соседних максимума с длинами волн и принято считать различимыми (разрешимыми) (рис. 10.36) если максимум спектральной линии длины волны располагается над минимумом линии с длиной . Аналогично, положению максимума линии (относительно оси , рис. 10.36) соответствует минимум линии . Величину называют РАЗНОСТЬЮ ДЛИН ВОЛН, ПОДЧИ­НЯЮЩИХСЯ КРИТЕРИЮ РЭЛЕЯ.

 

 

Рисунок 10.36

 

 

Рисунок 10.37

 

Анализ зависимости , формула 10.44 показывает, что в случае рэлеевского перекрытия максимумов с одинаковыми интенсивностями , между максимумами образуется "провал" на уровне 0,8 от оси (), (рис. 10.36). При , максимумы более различимы, чем в случае критерия Рэлея (рис. 10.37). При критерий Рэлея не выполняется и максимумы СЧИТАЮТСЯ неразличимыми (рис. 10.38).

 

Рисунок 10.38

 

3) РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ.

 

Отношение длины волны к разнице длин волн , подчиняющихся критерию Рэлея, называется РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТЬЮ РЕШЁТКИ:

 

. (10.69)

 

Найдем взаимосвязь разрешающей способности с рабочим чис­лом щелей и порядком дифракционного максимума . Сог­ласно формуле (10.51), условие произвольного добавочного ми­нимума определяется выражением

 

.

 

Добавочный минимум, примыкающий к центральному максимуму порядка , (рис. 10.28), является первым () и для него

 

.

 

Представим последнюю формулу в следующем виде:

 

, (10.70)

 

подчеркнув этим, что первый добавочный минимум примыкает к мак­симуму нулевого порядка. Согласно рис. 10.28, 10.36 добавочный минимум, примыкающий к максимуму порядка является для этого максиму­ма "первым". Поэтому, по аналогии с формулой (10.70) для этого доба­вочного минимума:

 

, (10.71)

 

Рассматриваемый добавочный минимум является ничем иным, как краем максимума с длиной волны . Согласно критерия Рэлея, над ним располагается пик максимума с длиной волны для которого (рис. 10.36):

 

. (10.72)

 

Из (10.72) и (10.72):

 

,

 

,

 

. (10.73)

 

Таким образом, разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра и числу рабочих щелей .

 

Идекс "А" у отбрасываем, как не имеющий принци­пиального значения.

 

4) УГЛОВАЯ И ЛИНЕЙНАЯ ДИСПЕРСИЯ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ.

Из вышеприведенных рассуждений следует, что две длины волны в спектре порядка , имеющие длины и дифрагируют на решетке Ρ под углами и , создавая максимумы,

 

, (10.74)

и

,

 

в точках и экрана , рис. 10.39

 

 

Рисунок 10.39

 

Введём величину, определяемую как

 

. (10.75)

 

Величина носит название угловой дисперсии решетки.

 

Найдем взаимосвязь с порядком дифракции , постоянной решётки d и углом дифракции .

Продифференцируем (10.74) по :

 

,

откуда

 

.

 

По своему физическому смыслу

 

,

 

 

поэтому

 

. (10.76)

 

Величина , называется линейной дисперсией дифракционной решетки.

 

Здесь - линейное расстояние между максимумами на экране, в спектре одного порядка, отличающимся на . Поскольку угол мал, согласно рис. 10.39

 

.

 

Для спектров низких порядков оказывается малым и угол . Поэтому расстояние от решётки Р до экрана (Э)

 

.

 

Следовательно,

 

. (10.78)

 

Разделив (10.78) на , получаем взаимосвязь линейной дисперсии с угловой

 

, . (10.79)

 

5) ОБЛАСТЬ СВОБОДНОЙ ДИСПЕРСИИ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ.

Направим ортогонально плоскости решетки оптическое излуче­ние с набором длин волн видимого диапазона от красного 700 нм до фиолетового 400 нм. Согласно (10.47), чередова­ние цветов в спектрах двух соседних порядков, будет иметь вид показанный на рис. 10.40, где индекс (К) соответствует красному цвету, а индекс (Ф) - фиолетовому.

 

 

Рисунок 10.40

 

Согласно условия главных дифракционных максимумов, для правого края (П) спектра порядка

 

, (10.80)

 

Для левого края (Л) спектра порядка

 

. (10.81)

 

Расширим спектральный состав излучения за счет увеличения длины волны в сторону инфракрасного диапазона и за счет уменьше­ния - в сторону ультрафиолетового диапазона. Очевидно, что в этом случае левые границы (Л) обоих спектров сместятся влево, а правые (П) - вправо. При некоторых значениях

 

и (10.82)

 

внутренние границы спектров и приблизятся одна к другой. Остановив дальнейшее перекрытие спектров условием критерия Рэлея, согласно (10.80 - 10.82), имеем:

 

,

 

,

 

.

 

Обозначив

и опуская индекс "Ф" у , как частный, получим

 

. (10.83)

 

Величина носит название области свободной дис­персии дифракционной решетки. Это МАКСИМАЛЬНЫЙ ин­тервал длин волн в спектре порядка (), при кото­ром не происходит перекрытия спектра () со спектром (). Величина имеет смысл МИНИМАЛЬ­НОЙ длины волны в спектрах порядка () и ().

 

Рассмотренные в 10.10 характеристики дифракционной решетки: разрешающая способность, угловая дисперсия, линейная дисперсия, область свободной дисперсии являются типичными и для других спектральных приборов. К ним относятся монохроматоры, спектроскопы, спектрофотометры, гониометры-спектрометры, интерферометры и другая оптическая измерительная аппаратура высокой точности.

В заключении этого раздела заметим, что релеевский
интервал - не более чем условное, общепринятое в технике
спектроскопии понятие, применимое к двум соседним длинам волн
любого спектра. Область свободной дисперсии - характе­ристика спектрального прибора, зависящая к тому же от порядка
исследуемого спектра и длины волны .

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫК главе 10

 

1. Чем отличается дифрагированный свет от недифрагированного?

2. Какое из двух понятий Вы считаете более правильным: "интерференционный спектр дифрагированных волн" или "дифракционный спектр"?

3. Чем отличается дифракция Френеля от дифракции Фраунгофера?

4. С какой целью в оптику введен метод зон Френеля?

5. Чем различаются параметры в формулах разрешающей способности решётки и области её свободной дисперсии?

6. От каких параметров зависит порядок максимума наибольшей концентрации энергии, для отражательной решетки, при малых уг­лах падения света на её поверхность?

7. Сделайте вывод формул: (10.11), (10.13), (10.15), (10.16), (10.20), (10.21), (10.37), (10.38), (10.41), (10.47), (10.48), (10.51), (10.55), (10.61), (10.66), (10.73), (10.76), (10.79), (10.83).