Математические методы прогнозирования случайного параметра
Прогнозирование на основе статистического материала
Параметр называется случайным, если мы не можем точно сказать, какое он примет значение в будущем. Прогнозирование случайного параметра х сводится к нахождению оценок его среднего значения и дисперсии. Указанные характеристики определяются по формулам:
- среднее значение;
- дисперсия,
где хi – i-ое значение параметра х;
ni – абсолютная частота хi-го значения;
m – число значений параметра х.
Наряду с этим вычисляются также:
- среднее квадратичное отклонение
- коэффициент вариации.
Если в качестве прогнозного значения параметра х применяется 
, то абсолютная ошибка прогноза D = 
вычисляется по формуле:
= 0,78 ∙ sХ;
относительная ошибка прогноза вычисляется по формуле:
dх = 
× 100% =0,78 × Vх × 100%
Задание 1
На основе обработки статистического материала были получены следующие данные о параметре х (табл. 1.1.). Требуется определить прогноз параметра х и оценить относительную ошибку прогноза dх.
Таблица 1.1.
Варианты исходных данных задания 1
| № варианта | ni | |||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi | ||||||||
| xi |
Здесь и далее номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента.
Прогнозирование методом экспертных оценок
Среднее значение (
) и дисперсия (Dx) параметра X на основе экспертных оценок вычисляются по формулам.
Если эксперт может оценить два значения прогнозируемого параметра: ХMIN и XMAX, то исходя из гипотезы о равномерной плотности вероятностей, задаваемой двумя параметрами ХMIN и XMAX:
, 
.
Если эксперт может оценить три значения прогнозируемого параметра: ХMIN, Х0, XMAX, то исходя из гипотезы о нормальной плотности вероятностей, задаваемой тремя параметрами ХMIN, Х0, XMAX:
, 
;
где: Xmin – минимально возможное значение параметра X;
Xo – наивероятнейшее значение параметра X;
Xmax – максимально возможное значение параметра X.
Задание № 2
На основе экспертных оценок были получены следующие данные о параметре х (табл. 1.2.). Требуется рассчитать прогноз параметра х и оценить относительную ошибку прогноза.
Таблица 1.2.
Варианты исходных данных задания 2
| Варианты | ||||||||||
| хmin | ||||||||||
| xo | ||||||||||
| xmax |
Установление корреляционной связи
Мерой зависимости между параметрами х и у является коэффициент корреляции r. Коэффициент корреляции изменяется от –1 до +1. Если r>0, то зависимость между х и у возрастающая, т.е. чем больше х, тем больше у. Если r<0, то зависимость убывающая, т.е. чем больше х, тем меньше у.
Коэффициент корреляции вычисляется на основе значений (хi, yi) параметров х и у в следующем порядке.
Вычисляются средние значения параметров х и у:
; 
Определяется корреляционный момент
Вычисляются дисперсия параметров х и у. Замечание: если исследуется выборка размера “n” вместо полной генеральной совокупности, то формулы для вычисления дисперсии следующие:
; 
.
Вычисляется коэффициент корреляции: 
.
rxy – характеризует степень линейной связи между y(x) и изменяется в пределах: rxy Î [-1;1]. При rxy > 0 зависимость Y(X) – возрастающая, при rxy < 0 зависимость Y(X) – убывающая, при rxy = 0 зависимость Y(X) – отсутствует.
Качественную оценку тесноты корреляционной связи проводят по таблице Чеддока
| Значения rxy | 0,1 – 0,3 | 0,3 – 0,5 | 0,5 – 0,7 | 0,7 – 0,9 | 0,9 – 0,99 |
| Характеристика связи | слабая | умеренная | заметная | высокая | весьма высокая |
Задание 3
В таблице 2.1. приведены данные о величине спроса Y при цене Х за единицу товара. Требуется рассчитать коэффициент корреляции между спросом и ценой.
Таблица 2.1.
Варианты исходных данных задания 3
| Варианты | хi | |||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi | ||||||
| yi |