Несложно убедиться, что верно равенство
. Теорема о существовании частного и остатка.
Для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа в существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = bq + r, причем 0 £ r< b.
Пара целых неотрицательных чисел (q; r), обладающая этим свойством, единственная. Эта теорема отвечает на вопрос: «Всегда ли можно выполнить деление а на в с остатком?».
Теоретико-множественный смысл деления с остатком заключается в следующем: пусть а = n (A) и множество А разбито на подмножества А1; А2;…Аn…Х так, что множества А1; А2;…Аn равномощны и содержат по в элементов, а множество х содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А1; А2; …An,например n(x) = r. Тогда а = вq + r, где 0 £ r< в. Т.о. неполное частное q – это число равномощных подмножеств (в каждом из которых в элементов) в разбиении множества А, а остаток r – это число элементов во множестве Х. Теоретико-множественный смысл деления с остатком можно рассмотреть на примере задачи: «У учительницы было 9 мячей. Она раздала по 2 мяча каждому ученику. Сколько детей получило мячи и сколько мячей осталось?». 9: 2 = 4 (ост. 1). В этой задаче речь идет о множестве мячей с численностью n(A) = 9, которое разбито на подмножества по 2 элемента в каждом. Тогда 4 – это количество таких равномощных подмножеств. Кроме этого в разбиении получилось некоторое множество с численностью 1 меньше 2.
Бывают случаи, когда одно число нельзя разделить на другое целиков, в результате этого существует деление с остатком.
Деление с остатком лежит в основе алгоритма письменного деления.
Определение: Целое неотрицательное число q (q ÎNо) называется частным, а целое неотрицательное число r (r ÎNо) – остатком от деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b (b ÎNо), если выполняются следующие условия:
1. 0 £ r <b; 2. a = b × q + r.
Теорема о существовании и единственности деления с остатком: Для любого целого неотрицательного числа a и любого натурального числа b существует и притом только одна пара целых неотрицательных чисел q (q ÎNо) и r (r ÎNо), которые соответственно являются частным и остатком от деления a на b.
("а ÎNo,bÎN) ($! q, r ÎNо: а: b = q (ост. r))
Рассмотрим справедливость данной теоремы в различных случаях:
1. a < b. a: b = 0 (ост. a). Например: а =3, b = 5, тогда: 3: 5 = 0 (ост. 3)
2. a = b. a: а = 1 (ост. 0). Например: а =3, b = 3, тогда: 3: 3 = 1 (ост. 0)
3. а > b. Например: а = 23, b = 3.
Рассмотрим последовательность произведений: 2 · 3, 3 · 3, 4 · 3, 5 · 3, 6 · 3, 7 · 3, 8 · 3, …, 22 · 3, 23 · 3.
Выберем из нее самое большое произведение, меньшее числа 23. Это произведение
Число 7 – искомое частное. Теперь найдем остаток.
Для этого от делимого отнимем выбранное произведение: 23 - 7 × 3 = 2.
Число 2 – искомый остаток. Запишем решение: 23: 3 = 7 (ост. 2)
Деление без остатка можно рассматривать как частный случай деления с остатком. В этом случае остаток равен 0. Например: 24: 3 = 8 (ост. 0).
II. Разработать фрагмент урока по ознакомлению учащихся с делением с остатком.
Повторить с детьми делимое, делитель, частное, таблицу умножения.
Знакомство со случаем деления с остатком и записью решения.
На этом этапе дети выполняют предметные действия с множествами, в которых, при разбиении на равночисленные классы, остаются элементы, не образующие полный класс.
Учитель может предложить задачу: Учитель раздал ученикам 13 тетрадей по 4 каждому. Сколько учеников получили тетради и сколько осталось?
В этой задаче множество А тетрадей, n(А)=13, разбили на равночисленные подмножества (классы) по 4 элемента (тетради) в каждом. При этом оказалось, что во множестве А остались элементы, не образующие заданным условием класс. Решая задачу, дети выясняют, сколько полных классов (учеников) получилось и сколько элементов осталась в неполном классе. Дети учатся записывать решение: 13:4=3 (ост.1).
Частное 3 показывает, сколько полных классов (учеников) получилось, а остаток 1 показывает сколько элементов осталось в неполном классе.
Цель урока: познакомить детей с приёмом деления с остатком.
Деление по содержанию.
Фрагмент.
Какие примеры на деление с числом вы знаете?
Сегодня Незнайка приготовил нам пример: 8:3 (пример в презентации). Но Незнайка раньше никогда не сталкивался с подобными примерами, и этот пример вызвал у него затруднение. Почему у Незнайки не получается решить этот пример? (Такого примера нет в таблице умножения). Давайте поможем Незнайке решить этот пример. Итак, нам нужно 8 разделить на 3.
Рассмотрим рисунок: 8 кружочков нам нужно разделить по 3. Сколько кружочков получилось? (два) А сколько – осталось? (два). Итак, в нашем примере два – это неполное частное, а два – является остатком.
Так что же такое деление с остатком? Деление с остатком – это арифметическое действие, результатом которого является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.
Деление с остатком записывается так 8:3=2 (остаток 2). В данном примере число 2 является неполным частным, а 2 – остатком.
Рассмотрим ещё задания, которые предложил нам Незнайка.
-Соотнесите примеры с рисунками:
| 7: 3 = 2 (ост. 1) 12: 5 = 2 (ост. 2) 10: 3 = 3 (ост. 1) 11: 2 = 5 (ост. 1) | 1) QQQ QQQ Q 2) TT TT TT TT TT T 3) (((((((((( 4) &&&&& &&&&& && |
- Найди делимое
: 3 = 2 (ост. 1)
:5= 4 (ост. 4)
:8= 0 (ост. 5) 5: 7 = 8 (ост. 3)
4: 6 = 7 (ост. )
6: = 9 (ост. )
- Посчитай и найди ошибку: (Правильный вариант:
15:3=5 (ост.4) 15:3=5(ост.0)
12:5=4(ост.3) 12:5=2(ост.5)
10:8=6 (ост.0) 10:8=1(ост.2)
13:3=10 (ост.7) 13:3=4(ост.1)
30:3=1 (ост.2) 30:3=10(ост.0))