Численные методы
Конспект лекций для магистров
направления 151000 «Технологические машины и оборудование»
Санкт-Петербург
Оглавление
1. Численные методы линейной алгебры.. 5
1.1. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 5
1.1.1. Метод Гаусса. 5
1.1.2. Метод прогонки. 14
1.1.3. Нормы векторов и матриц. 17
1.1.4. Итерационные методы решения СЛАУ.. 20
Метод простых итераций. 20
Метод Зейделя решения СЛАУ.. 24
1.2. Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц 26
1.2.1. Основные определения и спектральные свойства матриц. 26
1.2.2. Метод вращений Якоби численного решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц. 28
1.2.3. Численная проблема собственных значений и собственных векторов матрицы. Степенной метод. 31
1.2.4. QR – алгоритм нахождения собственных значений матрицы.. 34
2. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. 41
2.1. Решение нелинейных уравнений. 41
2.1.1. Метод половинного деления. 42
2.1.2. Метод Ньютона (метод касательных) 42
2.1.3. Метод простой итерации. 43
2.2. Решение систем нелинейных уравнений. 47
2.2.1. Метод Ньютона. 48
2.2.2. Метод простой итерации. 51
3. Теория приближения функций. 55
3.1. Постановка задач приближения функций. 55
3.2. Задача интерполяции. 57
3.2.1. Интерполяционный полином Лагранжа. 58
3.2.2. Интерполяционный полином Ньютона. 59
3.2.3. Погрешность полиномиальной интерполяции. 60
3.2.4. Сплайн - интерполяция. 64
3.2.5. Тригонометрическая интерполяция. 70
3.3. Метод наименьших квадратов. 72
3.4. Численное дифференцирование. 78
3.4.1. Метод Рунге оценки погрешности и уточнения формул численного дифференцирования 80
3.5. Численное интегрирование функций. 83
3.5.1. Формула прямоугольников численного интегрирования. 83
3.5.2. Численное интегрирование с помощью формулы трапеций. 85
3.5.3. Формула Симпсона численного интегрирования. 87
3.5.4. Процедура Рунге оценки погрешности и уточнения формул численного интегрирования 90
4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 94
4.1. Решение задачи Коши. 94
4.1.1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. 94
4.1.2. Одношаговые методы.. 95
Метод Эйлера (явный) 95
Погрешность метода Эйлера. 96
Модификация метода Эйлера. 96
Неявный метод Эйлера. 96
Метод Эйлера – Коши. 96
Неявный метод Эйлера – Коши. 97
Метод Эйлера – Коши с итерационной обработкой. 97
Первый улучшенный метод Эйлера. 98
Методы Рунге - Кутты.. 98
Метод Рунге – Кутты третьего порядка точности. 99
Метод Рунге – Кутты четвертого порядка точности. 99
Контроль точности на каждом шаге. 100
4.1.3. Решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 101
Решение задачи Коши для ОДУ второго и более высокого порядка. 103
4.1.4. Решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.. 112
4.1.5. Многошаговые методы. Метод Адамса. 115
Метод Адамса. 115
Метод Адамса – Бэшфортса - Моултона. 116
Этап предиктор. 116
Этап корректор. 116
4.2. Численные методы решения краевой задачи для ОДУ.. 119
4.2.1. Метод стрельбы.. 120
4.2.2. Конечно – разностный метод решения краевой задачи. 123
5. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных. 126
5.1. Численное решение уравнений параболического типа. Понятие о методе конечных разностей. Основные определения и конечно – разностные схемы. 126
5.1.1. Постановка задач для уравнений параболического типа. 126
5.1.2. Понятие о методе конечных разностей. Применение метода конечных. 127
разностей к решению уравнений параболического типа. 127
5.1.3. Аппроксимация граничных условий, содержащих производные. 132
5.2. Метод конечных разностей для решения уравнений гиперболического типа. 137
5.2.1 Постановка задач для уравнений гиперболического типа. 137
5.2.2. Конечно – разностная аппроксимация уравнений гиперболического типа. 139
5.3. Метод конечных разностей для решения уравнений эллиптического типа. 143
5.3.1 Постановка задач для уравнений эллиптического типа. 143
5.3.2. Конечно – разностная аппроксимация уравнений эллиптического типа. 144
5.4. Основные понятия, связанные с конечно – разностной аппроксимацией дифференциальных задач 147
Аппроксимация и порядок аппроксимации. 147
Устойчивость. 148
Сходимость и порядок сходимости. 150
6. Основы метода конечных элементов. 151
6.1. Формирование сетки. 151
6.2 Конечно – элементная аппроксимация. 153
6.3. Построение решения. 156
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса
Метод прогонки
Нормы векторов и матриц
