Оптимизация в условиях неопределенности

1. Гарантирующее планирование производства

а) Предприятие планирует выпуск продукции на следующий год. Производственные возможности предприятия позволяют выпускать продукцию трех видов: А, В и С. Для производства этих видов продукции предприятию требуется закупить сырье, стоимость единицы которого в следующем году прогнозируется в интервале от 0,8 до 1 тыс. руб.. На закупку сырья предприятие может истратить не более 770 тыс. рублей. На производство единицы продукции вида А требуется от 70 до 80 единиц сырья, вида В – от 40 до 50 единиц, вида С – от 15 до 20 единиц. Производственные мощности предприятия ограничены 550 единицами, причем на производство единицы продукции указанных видов требуется 40, 80 и 120 единиц соответственно. Прогнозируемая цена выпускаемой продукции колеблется в пределах [320; 350], [400; 430], [240; 280] тыс.руб.соответственно.

Составить оптимальный план выпуска продукции, гарантирующий максимально возможную прибыль в предположении независимости неопределенных факторов, и значение этой прибыли. Издержками считать затраты на сырье.

б) Завод планирует в следующем году выпуск трансформаторов трех видов: А, В и С. На один трансформатор вида А расходуется от 2,7 до 3 кг трансформаторного железа и от 2,8 до 3 кг проволоки., вида В – от 5,8 до 6 кг трансформаторного железа и 4 кг проволоки, вида С – от 1,9 до 2 кг трансформаторного железа и от 2,8 до 3 кг проволоки. Завод планирует закупить 500 кг трансформаторного железа и 600 кг проволоки. Прогнозируемая цена 1 кг трансформаторного железа – от 1,8 до 2 долларов, проволоки – от 1,3 до 1,5 долларов. Рыночная цена трансформаторов вида А прогнозируется в пределах от $15 до $18, вида В – от $22 до $25, вида С - от $13 до $15. Определить оптимальный план выпуска трансформаторов, гарантирующий максимальную прибыль в предположении независимости неопределенных факторов, а также значение этой прибыли.

1.

2. Выбор стратегии управления фирмой в условиях неопределенности

2.1. Подготовлено несколько вариантов стратегий управления фирмой. По каждой стратегии оценен объем прибыли для различных прогнозов будущей ситуации, причем не известно какой из прогнозов реализуется. Вероятность реализации прогноза также не известна. Величины прибыли при реализации каждого из прогнозов приведены в таблице. Найти наилучшие стратегии по критериям максимакса, Байеса-Лапласа, Гурвича, Сэвиджа, а также наилучшую гарантирующую стратегию и максимальную гарантированную оценку прибыли.

а)

Стратегия	Прогноз
		– 10	– 5
	– 5

б)

Стратегия	Прогноз
			– 50
	– 7
	– 10
	– 5
			– 10

2.2. Подготовлено несколько вариантов стратегий управления фирмой. По каждой стратегии оценен объем прибыли для различных прогнозов будущей ситуации: – пессимистический, – средний, – оптимистический. Оценки прибыли приведены в таблице, где за единицу измерения принят максимально возможный объем прибыли в благоприятной ситуации. Условная величина означает недопустимость стратегии в ситуации , т.е. множество допустимых управлений зависит от : .

Требуется написать общие формулы для выбора рациональных стратегий и оценок прибыли для перечисленных ниже вариантов априорной информированности о будущей ситуации.

1) : будущая ситуация известна точно (детерминированное, или идеальное решение);

2) : известно только множество будущих ситуаций (какой из прогнозов реализуется и с какой вероятностью, – не известно):

а) выделить множество гарантированно допустимых недоминируемых стратегий;

б) найти наилучшую гарантирующую стратегию и максимальную гарантирующую оценку прибыли ;

в) проверить, есть ли в задаче седловая точка;

г) найти в (из k = 2) стратегию , ближайшую к идеальному решению из k = 1 по мини-максному критерию для относительных отклонений ;

3) k = 3: известно множество будущих ситуаций и вероятности их реализации:

а) на множестве (из k = 2) найти стратегию , доставляющую максимум математическому ожиданию прибыли ;

б) на множестве (из k = 2) найти оптимальные вероятностно-гарантирующие стратегии , доставляющие максимум нижней оценке прибыли , справедливой с заданной надежностью ; для этого:

– построить множества с достаточной вероятностной мерой:

– вычислить гарантированные оценки прибыли на подмножествах для стратегий при заданном ;

– найти максимальную гарантированную оценку прибыли , указать стратегию , обеспечивающую этот максимум при заданном .

а)

Стратегия	Прогноз
	0,1	0,3	0,5
		0,2	0,8
	0,3	0,6
	0,2	0,4	0,8
		0,2
	0,1	0,5	0,9

, .

б)

Стратегия	Прогноз
	0,3	0,5	0,7
	0,1	0,3	0,8
	0,2	0,4	0,6
	0,1	0,6
	0,4		0,7
		0,6

, .

3. Отыскание наилучшего решения в условиях вероятностной неопределенности

Небольшая нефтяная фирма ведет разведывательное бурение нефтяных участков. Относительно некоторого участка она может принять одно из трех решений: а) не бурить; б) бурить; в) бурить с предварительной сейсмической разведкой. В первом случае доход равен нулю, во втором с вероятностями p₁, p₂ и p₃ могут встретиться три исхода: пустая скважина (доход за вычетом затрат на бурение равен минус 700 тыс. руб.), бедная скважина (500 тыс. руб.), богатая скважина (2000 тыс. руб.). Предварительная сейсмическая разведка не дает точного прогноза результатов бурения, она лишь уточняет прогноз. При этом вероятности получения плохого, среднего и хорошего прогнозов при сейсмической разведке равны p^пл, p^ср и p^хор соответственно. В случае плохого прогноза вероятности трех исходов (пустая, бедная и богатая скважины) равны p₁^пл, p₂^пл и p₃^пл, в случае среднего прогноза – p₁^ср, p₂^ср и p₃^ср, а в случае хорошего прогноза – p₁^хор, p₂^хор и p₃^хор. Стоимость предварительной сейсмической разведки составляет 100 тыс. руб. Построить дерево решений и найти решение, наилучшее с точки зрения максимизации математического ожидания дохода с учетом затрат на бурение и сейсмическую разведку. Вероятности заданы:

а) p₁ =0.5, p₂ = 0.3 и p₃ = 0.2; p^пл = 0.41, p^ср = 0.35 и p^хор = 0.24; p₁^пл =0.73, p₂^пл =0.22 и p₃^пл = 0.05;

p₁^ср = 0.43, p₂^ср = 0.34 и p₃^ср = 0.23; p₁^хор = 0.21; p₂^хор = 0.375 и p₃^хор = 0.415.

б) p₁ =0.6, p₂ = 0.3 и p₃ = 0.1; p^пл = 0.5, p^ср = 0.2 и p^хор = 0.3; p₁^пл =0.8, p₂^пл =0.2 и p₃^пл = 0.0;

p₁^ср = 0.5, p₂^ср = 0.5 и p₃^ср = 0.0; p₁^хор = 0.33; p₂^хор = 0.33 и p₃^хор = 0.34.