Условия выпуклости Условия вогнутости




       
   

 

 


2.3. (4 балла) Изобразить области выпуклости и вогнутости заданной функции в пространстве , а также заданное множество

                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       

2.4. (1 балл) Обосновать выпуклость множества аналитически

 
 

 


2.5. (1 балл) Отметить галочкой правильный ответ

 

Выпукла на Вогнута на Не выпукла и не вогнута на

 

 
 


Оценка: не заполнять!

 

Задача 3 (12 баллов)

Фирма может производить три вида продукции: А, В и С. Для производства единиц продукции А, единиц продукции В и единиц продукции С требуется единиц ресурса, запасы которого равны 6 единицам. Прогнозируемая цена на рынке для продукции вида А составляет 1 тыс. рублей, вида В – 2 тыс. рублей, вида С – 2 тыс. рублей.

Составить оптимальный план производства продукции, максимизирующий доход от ее продажи на рынке, в предположении полного расходования запасов ресурса. Как изменится максимальный доход, если запас ресурса увеличить на 0,01 единицы?

Решить задачу методом Лагранжа как классическую задачу математического программирования с оценкой чувствительности (решения, не соответствующие физическому смыслу переменных, отбросить в конце решения задачи).

 

Этапы решения

3.1. (1 балл) Составить математическую модель задачи

3.2. (1 балл) Проверить выполнение условия Якоби

 
Вычисления

Вывод

3.3. (1 балл) Выписать функцию Лагранжа

 

 
 

 

 


 

3.4. (1 балл) Выписать необходимые условия первого порядка

 

 


3.5. (1 балл) Найти стационарные точки


Вычисления

 

Стационарные точки

3.6. (1 балл) Выписать окаймленную матрицу Гессе

 

 
 

 

 


3.7. (3 балла) Путем исследования окаймленной матрицы Гессе установить наличие и вид локальных экстремумов в найденных стационарных точках

Вычисления

 

 


Выводы

 

 

3.8. (2 балла) Найти решение задачи (точку глобального максимума, максимальное значение целевой функции) с обоснованием

 

Оптимальная точка

(1 балл)

Максимальное значение

 
 


Обоснование

(1 балл)

 

 

3.9. (1 балл) Оценить, как изменится оптимальный доход, если запас ресурсов увеличить на 0,01 единицы

 
 

 


Вычисления

 

 

Вывод

 

 
 


Оценка: не заполнять!

 

Задача 4 (18 баллов) Исследовать задачу нелинейного программирования

при

Этапы решения

4.1. (1 балл) Привести задачу к стандартному видуи к виду, удобному для графического анализа (прямые ограничения представлены в форме функциональных)

Стандартный вид задачи Вид задачи, удобный для графического анализа

       
   
 
 

 


4.2. (2 балла) Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции

                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       

4.3. (1 балл) Обосновать существование или отсутствие решения задачи

 
 

 


4.4. (1 балл) Является ли данная задача задачей выпуклого программирования? Ответ обосновать и подтвердить расчетами.

4.5. (1 балл) Вычислить градиенты целевой функции и всех функций, описывающих ограничения

 
 
 
 
 

4.6. (1 балл) Найти точки, в которых не выполняется условие Якоби, или обосновать их отсутствие


4.7. (4 балла) Найти графически все точки, в которых выполняются условия Куна-Таккера (изобразить направления градиентов на рисунке из п.4.2 и обозначить их), вычислить их координаты и выписать разложения градиента целевой функции по градиентам функций, описывающих активные ограничения

Точка (координаты) Разложение (без вычисления коэффициентов)
   
   
   
   
   
   
   

 

4.8. (2 балла) На основании известных Вам необходимых или достаточных условий (а где невозможно, – на основе графического анализа) сделать вывод о наличии или отсутствии локального максимума во всех угловых точках, а также в других точках, в которых выполняется условие Куна-Таккера

 

 

Точка            
Наличие локального максимума (+), отсутствие (–)            

 

 

4.9. (4 балла) С помощью функции Лагранжа проверить аналитически выполнение условий Куна-Таккера в точке (3;0)

 

а) Выписать функцию Лагранжа для данной задачи (1 балл)

 

б) Выписать систему условий Куна-Таккера для задачи с двумя переменными и и двумя функциональными ограничениями, используя символ функции Лагранжа (1 балл)

 
 


в) Выписать систему условий Куна-Таккера для заданной точки, решить ее и сделать вывод

(2 балла)

       
 
 
   


Указать верный вывод: Условие Куна-Таккера выполняется

Условие Куна-Таккера не выполняется

 

4.10. Найти (с обоснованием) глобальный максимум (1 балл)

 

Обоснование
     
   

Оценка: не заполнять!

Экзаменационная работа

Задача 1. (7 баллов). Некий гражданин хочет извлечь доход из имеющейся у него суммы в 100 тыс. руб. Он рассматривает три возможности – положить все деньги в банк на срочный вклад, или вложить их в инвестиционный фонд, или приобрести на них акции. Доход от этих действий, однако, не во всех случаях известен заранее, поскольку зависит от мировой цены на нефть. В то время как банк гарантирует 5 % годовых при любых ценах на нефть, доход от вложений в инвестиционный фонд зависит от этих цен: при высоких ценах он составит 25 % от вложенной суммы за год, при средних ценах составит 15 % за год, а при низких ценах будут иметь место потери, которые составят 10 %. В случае приобретения акций, доходы составят 40 % за год при высоких ценах на нефть и 1 % при средних ценах, а при низких ценах на нефть будут иметь место потери в 20 %. Найти максимальную гарантированную оценку прибыли и гарантирующее решение, а также наилучшие решения по критериям Байеса-Лапласа (равной вероятности), Гурвича, Сэвиджа (минимизации сожалений).

Этапы решения

1 балл 1.1. Формализация задачи

Обозначив возможные решения через x 1, x 2 и x 3, а возможные значения неопределенности через ξ 1, ξ 2 и ξ 3, составить матрицу доходов (платежную матрицу) aij= f (xi, ξj)

 

  ξ 1 ξ 2 ξ 3        
x 1              
x 2              
x 3              

 

общая формула
результат
2 балла 1.2. Дать определения максимального гарантированного результата и гарантирующего решения для матрицы доходов общего вида (f (xi, ξj) = aij, i = 1,… n; j = 1,… m), а также найти такой результат и такое решение для матрицы п. 1.1.

 

       
   
 
 


= =

       
   
 


= =

 

 

результат
общая формула
1 балл 1.3. Дать определение наилучшего решения по критерию Байеса-Лапласаи найти такое решение для матрицы п. 1.1.

 

       
   
 
 


= =

       
 
   
 


= =

 

 

1 балл 1.4. Дать определение наилучшего решения по критерию Гурвичаи найти такое решение с параметром для матрицы п. 1.1.

 

 

результат
общая формула

       
   
 
 


= =

       
 
   
 


= =

 

2 балла 1.5. Дать определения наилучшего решения по критерию Сэвиджа и найти такое решение для матрицы п. 1.1.

 
 
результат


общая формула

       
   
 
 


= =

       
 
   
 


= =

 

 

 
 
Итоговая оценка:


(не заполнять!!!)

 

Задача 2. (8 баллов).

Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы bj, j =1,2, которых точно известны. Планирование производства осуществляется в условиях неопределенности – неточно известны удельные затраты сырья , j =1,2, i =1,2,..,5, а также цены продукции, i =1,2,..,5. Для неопределенных параметров известны диапазоны их возможных значений (см. таблицу). Требуется построить план производства , который был бы выполним при любых значениях неопределенных параметров и обеспечивал максимум гарантированной оценки дохода в условиях, когда информация о связях между неопределенными параметрами отсутствует.

 

Объемы производства bj - запасы сырья
– удельные затраты сырья 1 0,8 - 1 1,8 - 2 5 - 6 2,5 - 3 2,8 - 3 4 000
– удельные затраты сырья 2 0,7 - 1 6 - 7 1,7 - 2 10 - 12 4 - 5 2 000
– цены продукции 4 - 5 14 - 15 12 - 13 18 - 20 15 - 16  

 

Этапы решения

 

1 балл 2.1. Сведение к детерминированной задаче линейного программирования

1 балл 2.2. Запись двойственной задачи

 

4 балла 2.3. Графическое решение двойственной задачи

 

                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             

2 балла 2.4. Решение прямой задачи (с обоснованием и проверкой оптимальности)

 

 

Ответ: =; =.

 

 
 
Итоговая оценка:


(не заполнять!!!)

Задача 3. (10 баллов).

В задаче двухкритериальной максимизации множество допустимых решений задается неравенствами и , а критерии заданы соотношениями . Отклонение от целевого множества задается функцией

.

ЛПР задал целевую точку =(3,4). Требуется:

- найти и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку ;

- изобразить целевое множество G;

- изобразить линии уровня функции ; графически решить задачу нахождения достижимой точки , дающей минимум отклонения от целевого множества;

- аналитически записать задачу минимизации отклонения от целевой точки в виде задачи линейного программирования.

Этапы решения

1 балл 3.1. Изобразить множество допустимых решений и найти его вершины.

                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       

 

Вершины множества допустимых решений:

 
 

 

 


3 балла 3.2. Найти образы вершин в пространстве критериев; найти и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку z*.

Вершины множества достижимых критериальных векторов:

 
 

 

 


Множество достижимых критериальных векторов, его паретова граница P(Z) и идеальная точка z*

                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             


4 балла 3.3. Изобразить целевое множество G, линии уровня функции и множество Z; графически решить задачу нахождения достижимой критериальной точки , дающей минимум отклонения от целевого множества.

 

      <


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-02 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: