Задача 2.1. Функция полезности 
. Определите функцию предельной полезности.
Решение. Предельная полезность – это полезность каждой дополнительной единицы потребляемого блага:
,
где 
– общая полезность;
Q – количество потребляемого блага.
Тогда
.
Задача 2.2. Потребитель располагает доходом в размере 31 ден. ед., делает выбор между тремя товарами А, Б, и В, цены на которые равны соответственно Р а = 1 ден. ед., Р б = 3 ден. ед., Р в = 2 ден. ед.
В таблице 2.1 представлены общие полезности трех товаров. Определите, сколько каждого товара необходимо купить потребителю, чтобы максимизировать свою полезность.
Т а б л и ц а 2.1 – Общие полезности товаров А, Б, и В
| Порции товара, шт. | TU А | TU Б | TU В |
| 1-я | |||
| 2-я | |||
| 3-я | |||
| 4-я | |||
| 5-я | |||
| 6-я | |||
| 7-я |
Решение. Потребитель будет максимизировать свою полезность при условии:
(2.1)
где MU – предельная полезность товара;
Р – цена товара.
Рассчитаем предельные полезности трёх товаров, используя формулу 2.2, полученные результаты сведём в таблицу 2.2:
(2.2)
Т а б л и ц а 2.2 – Предельная полезность товаров А, Б и В
| Порции товара, шт. | МU А | МU Б | МU В |
| 1-я | |||
| 2-я | |||
| 3-я | |||
| 4-я | |||
| 5-я | |||
| 6-я | |||
| 7-я |
Определим взвешенные предельные полезности, то есть полезности, приходящиеся на 1 ден. ед., затраченную на единицу каждой порции товара (
):
Т а б л и ц а 2.3 – Взвешенные предельные полезности товаров А, Б и В
| Порции товара, шт. | МU А/ P A | МU Б/ P Б | МU В/ P В |
| 1-я | |||
| 2-я | |||
| 3-я | |||
| 4-я | |||
| 5-я | |||
| 6-я | |||
| 7-я |
Если бы выбор потребителя не был ограничен размерами его дохода, то потребление бы осуществлялось следующим образом (в скобках указаны единицы товара, потребление которых бы осуществлялось одновременно, так как взвешенные предельные полезности этих товаров равны):
Потребление = А + (А + Б) + (А + Б + В) + В + (А + В) + (А + Б) +
+ (Б + В) + (А + Б + В) + (А + Б + В) + (Б + В) = 7А + 7Б + 7В.
Однако потребитель ограничен доходом в размере 31 ден. ед.
Следовательно, он купит набор товаров 6А + 5Б + 5В, так как при этом выборе он тратит весь свой доход и максимизирует общую полезность (выполняется равенство взвешенных предельных полезностей, формула (2.1). Рассчитаем общую полезность максимизирующего набора:
TU (6А) + TU (5Б) + TU (5В) = 41 + 87 + 56 = 184.
Это максимальная полезность, которую мог получить потребитель, ограниченный доходом в 31 ден. ед. Любое другое перераспределение средств принесло бы ему меньшую общую полезность, то есть в меньшей степени удовлетворило его потребности.
Например, если бы потребитель потратил весь свой доход на набор 7А + 4Б + 6В, то суммарная полезность его составила бы 43 + 78 + 60 = 181, что меньше максимизирующего 184.
Вывод: потратив на набор 6А + 5Б + 5В весь свой доход, потребитель наилучшим образом удовлетворит свои потребности.
Задача 2.3. Доход потребителя составляет I = 360 ден. ед. и целиком тратиться на два товара: А и B. Цена товара PА = 40 ден. ед., цена товара PB = 30 ден. ед. Выполните задания:
1) постройте бюджетную линию на основании данных задачи;
2) постройте бюджетную линию при условии, что доход увеличился до 480 ден. ед.
Решение.
1 Уравнение бюджетной линии
, (2.3)
где I – доход потребителя;
PA, PB – соответственно цены товаров A и B;
QA, QB – количество товара A и B.
Подставим данные задачи в формулу (2.3):
Отложим по горизонтальной оси количество товара QА, а по вертикальной – количество товара QB (рисунок 2.1):
Все точки бюджетной линии I 1 показывают наборы товаров А и B, на которые потребитель полностью тратит свой доход.
Рисунок 2.1 – Бюджетные линии потребителя
2 Если доход потребителя увеличится до 480 ден. ед., то уравнение линии бюджетных ограничений:
Возросшему уровню дохода на рисунке 2.1 соответствует линия бюджетных ограничений I 2 более удалённая от начала координат.
Задача 2.4. На рисунке 2.2 изображена линия бюджетных ограничений I 1, соответствующая доходу 100 ден. ед. Выполните задания:
1) найдите цену товара А и B;
2) определите функцию линии бюджетных ограничений;
3) определите, как изменится бюджетная линия, если цена товара А уменьшится в два раза.
Рисунок 2.2 – Бюджетная линия потребителя
Решение. Линия бюджетных ограничений – это прямая, где все точки показывают различные комбинации товарного набора, на который израсходован весь доход целиком.
1 Рассмотрим точку пересечения бюджетной линии и горизонтальной оси (см. рисунок 2.2), в этой точке весь доход израсходован на 25 шт. товара А, так как количество товара QB = 0. Следовательно, цена товара
2 Подставляя цены товаров и уровень дохода потребителя в формулу (2.3), получим:
3 Если цена товара А уменьшится в два раза, то есть РА = 2 ден. ед. за шт., то потребитель на свой доход 100 ден. ед. сможет купить 50 шт. товара А, следовательно, линия бюджетных ограничений примет вид I 2 (рисунок 2.3):
Рисунок 2.3 – Смещение бюджетной линии при изменении цены товара А
Задача 2.5. Доход потребителя составляет 200 ден. ед. Потребительский набор состоит из картофеля и молока. Стоимость картофеля P к = 10 ден. ед. за 1 кг, а молока Р м = 20 ден. ед. за 1 л. Предпочтения потребителя описываются следующей функцией полезности:
.
Цена картофеля увеличилась до Р к1 = 20 ден. ед. за 1 кг.
Определите, какой должен быть доход потребителя, чтобы уровень его удовлетворения остался прежним. Какое количество картофеля и молока при этом он будет потреблять.
Решение. Кривая безразличия – это линия, все точки которой показывают наборы двух товаров, которые обладают одинаковой суммарной полезностью для потребителя.
Если функция полезности потребителя имеет вид
а располагаемый доход – формула (2.3), тогда оптимальный объём потребляемых благ можно определить по формулам:
(2.4)
Подставляя исходные данные в формулу (2.4), получим:
Увеличение цены на картофель до 20 ден. ед. за 1 кг, сместит линию бюджетных ограничений с I 1 до I 2 (рисунок 2.4).
Рисунок 2.4 – Изменение равновесия потребителя
Линия бюджетных ограничений I 2 не имеет точек касания с кривой безразличия U, следовательно, потребителю при цене картофеля 20 ден. ед. за 1 кг уровень удовлетворения U недоступен. Для определения оптимального набора, который позволит потребителю обеспечить удовлетворение своих потребностей на прежнем уровне, необходимо линию I 2 сместить параллельно до точки касания с кривой безразличия U.
На рисунке 2.4 искомому уровню дохода соответствует I 3, а положению максимизации полезности – точка E 2. В этой точке потребитель обеспечивает себе прежний уровень потребления, следовательно,
.
Для определения параметров нового равновесия, решим систему уравнений, используя формулы (2.3), (2.4):
При уровне дохода I 3 = 282,8 будет потребляться 7 кг картофеля и 7 литров молока.
Задача 2.6. Постройте кривую «доход – потребление» для потребителя с функцией полезности:
Известно, что РА = 15 ден. ед., РB = 30 ден. ед.
Решение. Кривая «доход – потребление» характеризует изменение максимизирующего полезность набора товаров A и B по мере роста дохода.
Исходя из условия задачи, некомпенсированный спрос на благо A и B имеет следующий вид см. формулу (2.4):
Уравнение линии бюджетных ограничений см. формулу (2.3): 
Изменяя значение параметра располагаемого дохода потребителя I, построим кривую «доход – потребление», на основании полученных значений из следующих соотношений (см. рисунок 2.5):
Рисунок 2.5 – Кривая «доход – потребление»
Задача 2.7. Постройте кривую «цена – потребление» товара А для потребителя с функцией полезности:
Известно, что PB = 10 ден. ед., располагаемый доход I = 100 ден. ед.
Решение. Кривая «цена – потребление» показывает, как изменяется количество потребления товара А от его цены, при постоянном доходе и неизменности цен других товаров.
Исходя из условия задачи, некомпенсированный спрос на товар А и B описывается следующей функцией (см. задачу 2.6):
На основании зависимости QA (PA) построим кривую «цена – потребление» по точкам, последовательно изменяя цену на благо A, например P 1 = 50, P 2 = 20, P 3 = 10 ден. ед. (порядок выбора цены на первое благо не имеет значения).
Изобразим ситуацию графически (рисунок 2.6).
Рисунок 2.6 – Кривая «цена – потребление»
В. Тесты
1 Полезность – это:
а) основная цель потребления;
б) свойство экономических благ удовлетворять потребности;
в) конечная цель производства;
г) количественная мера потребности.
2 Понятие «предельная полезность» означает:
а) максимальную полезность всех составляющих частей потребляемого блага;
б) максимальную полезность при покупке каждой дополнительной единицы блага;
в) полезность дополнительной единицы блага;
г) минимальные издержки на производство дополнительной единицы блага.
3 Если общая полезность при употреблении 3-го стакана сока возросла с 35 до 40, то предельная полезность будет равна:
а) 5;
б) 75;
в) 40;
г) 35.
4 Какой ряд значений общей полезности иллюстрирует закон убывающей предельной полезности:
а) 400, 200, 150, 100, 50, 20;
б) 400, 450, 500, 600;
в) 150, 100, 60, 30, 10, 5;
г) 150, 200, 240, 270, 290.
5 Кривая безразличия – это линия, точки которой отражают:
а) равные товарные наборы двух благ, обладающие одинаковой полезностью для потребителя;
б) разные наборы факторов производства, позволяющие произвести одинаковый объём производства;
в) разные товарные наборы двух благ, обладающие одинаковой полезностью для потребителя;
г) объём спроса на одно благо в зависимости от спроса на другое благо.
6 Отрицательный наклон кривой безразличия объясняется:
а) эластичностью спроса;
б)законом убывающей предельной полезности;
в) предельной нормой замещения;
г) законом убывающей предельной производительности.