Абсолютные показатели вариации




Тема. показатели вариации

1. Абсолютные показатели вариации.

2. Виды дисперсий и правило их сложения.

3. Дисперсия альтернативного признака.

4. Относительные показатели вариации.

 

Абсолютные показатели вариации

Для характеристики колеблемости признака в совокупности используются абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации относят:

– размах вариации;

– среднее линейное (абсолютное) отклонение;

– дисперсия;

– среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

Размах вариации характеризует пределы изменения варьирующего признака.

Среднее линейное (абсолютное) отклонение определяется как средняя арифметическая из абсолютных отклонений (модулей) значений признака единиц совокупности от средней арифметической:

(1)

(2)

Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической:

(1)

(2)

Пример. Распределение работников по среднемесячной заработной плате:

Заработная плата, тыс. руб. Число работников, чел.
До 12  
12–16  
16–20  
20–24  
24 и более  
Итого  

Определите дисперсию среднемесячной заработной платы.

Решение.

Таблица. Расчет дисперсии заработной платы

Заработная плата, тыс. руб. Число работников, чел.
До 12       -7    
12–16       -3    
16–20            
20–24            
24 и более            
Итого   -   - -  

 

Для исчисления дисперсии также можно воспользоваться преобразованной (упрощенной) формулой:

,

т.е. дисперсия равна разности среднего квадрата значений признака и квадрата среднего значения признака:

где ; .

Или если дисперсия взвешивается:

,

Таблица. Расчет дисперсии заработной платы по преобразованной формуле

Заработная плата, тыс. руб. Число работников, чел.
До 12          
12–16          
16–20          
20–24          
24 и более          
Итого   -      

 

.

Для рядов с равными интервалами можно применять способ отсчета от условного нуля (метод моментов). Для этого необходимо знать два свойства дисперсии:

Свойство 1. Если из всех значений вариант отнять постоянное число А, то дисперсия от этого не изменится:

.

Свойство 2. Если все значения вариант разделить на постоянное число h, то дисперсия уменьшится от этого в h2 раз. Обозначим

, и

Исчисление дисперсии способом отсчета от условного нуля сводится к следующим действиям:

1. Исходные варианты признака заменяют условными значениями .

2. Исчисляется дисперсия условной величины по формуле, аналогичной преобразованной формуле:

,

где

3. Исчисляем дисперсию величины по формуле:

Таблица. Расчет дисперсии заработной платы

Заработная плата, тыс. руб. Число работников, чел.
До 12     -2 -14    
12–16     -1 -9    
16–20            
20–24            
24 и более            
Итого   -   -10    

 

, , .

,

Среднее квадратическое отклонение () представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность усредняемого признака.

–2–

Вариация сгруппированных данных обычно оценивается дисперсией. В этом случае можно выделить три вида дисперсий: общая дисперсия, внутригрупповая дисперсия, межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов:

,

где – общая средняя для всей совокупности.

Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы, которая возникает под влиянием не учитываемых факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки, и подсчитывается по формуле:

,

где – средняя по отдельным группам;

– численность единиц в отдельных группах.

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних вокруг общей средней и вычисляется:

.

Существует закон, связывающий три вида дисперсий – общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

.

Таким образом, общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

–3–

В статистике наряду с показателями вариации количественного признака определяются показатели вариации альтернативного признака, т.е. признака, которым единицы изучаемой совокупности могут либо обладать, либо не обладать. В таких случаях наличие признака обозначается 1, а его отсутствие – 0. Доля единиц, обладающих интересующим нас признаком, обозначается – p. Доля остальных единиц – q. При этом p + q = 1.

,

где m – количество единиц совокупности обладающих интересующим нас признаком;

n – всего единиц совокупности.

Определим для этих условий среднюю величину альтернативного признака:

.

Отсюда дисперсия альтернативного признака равна:

.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25. Оно получается при p = 0,5.

 

–4–

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительной вариации осуществляют как отношение абсолютного показателя вариации к средней арифметической (или медиане), умножаемое на 100%.

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

.

3. Коэффициент вариации характеризует относительную колеблемость значений признака вокруг средней величины:

.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: