Указания по выполнению контрольных работ
Настоящие методические указания предназначены для студентов гуманитарных специальностей, изучающих курс математики по заочной форме обучения. Объём и содержание предлагаемого раздела «Теория вероятностей и математическая статистика» определены программой курса, составленной в соответствии с ГОС Министерства образования РФ. Указанные указания не заменяют основную учебную литературу, а имеют своей целью помочь студенту-заочнику быстрее разобраться в материале, необходимом для выполнения контрольных работ и лучше усвоить наиболее сложные вопросы раздела. В указаниях приведены основные понятия и результаты, а также методика решения типовых задач изучаемого материала.
Студент должен выполнять один тот же вариант всех контрольных работ. Чтобы определить свой вариант, нужно разделить на 25 последние две цифры номера студенческого билета (предполагается, что первые цифры номера обозначают шифр специальности и год поступления в вуз). Остаток от деления и есть номер вашего варианта. Например, шифр студента равен 15-01136: год поступления – 2015, шифр специальности – 01, 136 – присвоенный студенту порядковый номер при зачислении. Тогда остаток от деления 36 на 25 будет равен 11 и, следовательно, решать нужно вариант №11; если шифр студента равен 15-01075, тогда остаток от деления 75 на 25 будет равен 0 и, следовательно, решать нужно вариант №25.
При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:
1. В начале работы разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер и вариант контрольной работы и дату отсылки ее в университет.
2. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради (или на белой бумаге формата А4), авторучкой или распечатанной на принтере (не приветствуется) с полями не менее 3 см для замечаний рецензента.
3. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в контрольных работах. В начале каждого решения записывать условие задачи (без сокращений).
4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов. Обязательно, если требуется, выполнять чертежи с пояснениями и нарисованными аккуратно.
Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных правил или не своего варианта, не засчитываются и возвращаются без проверки.
Получив прорецензированную работу, студент обязан исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, ее необходимо в короткий срок либо выполнить заново (целиком), либо решить заново задачи, указанные рецензентом. Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при защите перед зачетом или экзаменом.
Программа курса
«Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Случайные события и их вероятности
1. Случайные события и их классификация. Пространство элементарных событий.
2. Действия над случайными событиями.
3. Классическое определение вероятности.
4. Комбинаторный способ вычисления вероятностей по классической схеме. Принципы умножения и сложения в комбинаторике. Особенности выбора с возвращением и без возращения, с упорядочением и без упорядочения.
5. Основные комбинаторные формулы: перестановки, размещения, сочетания, комбинации с повторениями.
6. Недостатки классического определения вероятности. Относительная частота появления события и свойство её устойчивости. Статистическое определение вероятности.
7. Геометрическое определение вероятности.
8. Аксиоматическое определение вероятности.
9. Теорема сложения вероятностей.
10. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
11. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
12. Вероятность появления хотя бы одного события.
13. Схема последовательных независимых испытаний. Формула Бернулли.
14. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
15. Асимптотическая формула Пуассона.
2. Случайные величины и их характеристики
1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Особенности поведения функции распределения для дискретных и непрерывных случайных величин.
2. Дискретная случайная величина. Функция распределения и закон распределения дискретной случайной величины.
3. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
4. Числовые характеристики случайных величин.
5. Математическое ожидание случайной величины и её свойства.
6. Дисперсия случайной величины и её свойства. Среднее квадратичное отклонение.
7. Начальные и центральные моменты случайной величины. Коэффициент асимметрии и эксцесс.
8. Биномиальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения. Наивероятнейшее число наступлений события. Асимптотическое поведение биномиального распределения.
9. Распределение Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона. Простейший поток событий. Применение распределения Пуассона в теории массового обслуживания.
10. Равномерное распределение и его свойства. Математическое ожидание и дисперсия равномерного распределения.
11. Показательное распределение. Функция надежности. Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения. Характерные свойства показательного распределения.
12. Нормальное распределение и её роль в теории вероятностей и математической статистике. Кривая Гаусса. Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения. Стандартное нормальное распределение и ее связь с функцией Лапласа.
13. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Правило "трех сигм".
14. Двумерные случайные величины. Функция распределения двумерных случайных величин. Условная функция распределения.
15. Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции и их свойства.
16. Условные характеристики двумерных случайных величин. Условные распределения и условные математические ожидания. Функции регрессии.
17. Двумерное нормальное распределение. Независимость и некоррелированность нормального распределения. Условное нормальное распределение. Функции регрессии двумерного нормального распределения.
18. Сущность закона больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева. Теорема Бернулли об устойчивости относительных частот. Теорема Чебышева. Понятие о сходимости по вероятности.
19. Смысл и практическое значение центральной предельной теоремы.
3. Элементы математической статистики
1. Статистические ряды и способы их группировки. Дискретные и интервальные вариационные ряды. Графическое описание вариационных рядов. Полигон и гистограмма
2. Числовые характеристики вариационных рядов. Мода и медиана.
3. Генеральная совокупность и выборка. Сущность выборочного отбора. Требование репрезентативности выборки. Виды выборки. Эмпирическая функция распределения.
4. Сущность точечных и интервальных статистических оценок параметров генеральной совокупности. Основные требования к статистическим оценкам: состоятельность, несмещённость, эффективность.
5. Методы получения точечных оценок: метод моментов, метод максимально правдоподобия.
6. Точечные оценки генерального среднего, генеральной дисперсии.
7. Интервальное статистическое оценивание. Доверительный интервал. Вероятностный смысл интервальной оценки.
8. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии.
9. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.
10. Статистические гипотезы. Нулевая и альтернативная, простая и сложная гипотезы.
11. Статистический критерий. Критическая область и область принятия гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости и мощность статистического критерия.
12. Критерии значимости. Проверка статистических гипотез о вероятностях, средних, дисперсиях.
13. Критерий согласия Пирсона.
14. Виды связей между признаками. Различие между функциональной и корреляционной зависимостями. Основные задачи корреляционного анализа.
15. Корреляционная таблица и корреляционное поле. Понятие о эмпирической линии регрессии. Выборочный коэффициент корреляции.
16. Сущность метода наименьших квадратов. Оценка параметров регрессии по методу наименьших квадратов
17..Понятия о нелинейной регрессии и множественной регрессии.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ