Пусть заданы геометрическая схема, опорные закрепления и узловая статическая нагрузка для статически неопределимой фермы. Требуется найти площади поперечных сечений стержней, принимая в качестве критерия оптимальности вес фермы без учета конструктивных деталей и в качестве ограничений задачи – условия прочности, устойчивости, жесткости и конструктивные требования.
Назначенному критерию оптимальности соответствует целевая функция, имеющая вид (11). Условия прочности и устойчивости каждого стержня определяется формулой (12)-(13), условие жесткости фермы – формулой (14), уравнения состояния – формулами (15) - (17).
Предварительно назначены типы сечений для всех стержней и проведена вся подготовительная работа по компоновке рациональных сечений каждого стержня во всем диапазоне усилий, возможных при данной нагрузке.
Последнее означает, что для всех стержней составлены таблицы поперечных сечений, каждое из которых соответствует определенной величине растягивающей или сжимающей продольной силы, длине данного стержня и его конструктивной группе (стержень верхнего или нижнего пояса, раскос, стойка и т.п.).
На основании этих данных для всех стержней могут быть установлены аналитические зависимости между гибкостью λ и площадью А, а также между коэффициентом продольного изгиба φ и площадью А:
λ = λ (А), А = А(λ); (18)
φ = φ(λ), φ = φ(А). (19)
Соотношения (18) и (19) необходимы для возможности математического описания задачи в замкнутом виде.
С учетом (19) условия прочности и устойчивости стержня можно представить в следующем виде
- Ni + RyAi≥0; Ni + φ(Аi)RyAi≥0. (20)
В качестве конструктивных ограничений будем учитывать лишь ограничения максимальной гибкости стержней. В соответствии с (18) их можно записать так Аi ≥ Аi (λmax) = Ai0 .
Таким образом, требуется минимизировать вес фермы
k
G = Σ ρiAiℓi ψi (21)
i=1
при учете следующих условий:
- Ni + RyAi≥0; (22)
Ni + φ(Аi)RyAi≥0; (23)
Аi ≥ Ai0 . (24)
uc ≤ f0 (25)
D N = B P; ε = С U; N = Е А ε. (26)
Неизвестными в этой задаче являются параметры управления Ai и параметры состояния Ni; εi; ui. Неизвестные Ai должны быть положительными, что гарантируется условием (24). Параметры состояния не имеют ограничений по знаку.
В этой задаче предполагалось, что геометрическая схема фермы была задана заранее. Кроме того, сначала была решена рациональная компоновка сечений стержней фермы, а затем определение оптимальных значений их площадей Аi.
Можно усложнить задачу. При заданной геометрической схеме фермы найти оптимальные значения площадей стержней. Тогда за параметры управления необходимо принимать не площади поперечного сечения, а размеры отдельных элементов hi, bi, ti, составляющих сечение.
Можно решить и более общую задачу, в которой не только параметры сечений, но и осевая схема фермы (длины стержней, тип решетки и пр.) должны быть определены в процессе решения. Заданы только нагрузки (величина, направление, место приложения), опорные закрепления и общие габаритные размеры конструкции. В этом случае в уравнения состояния должны в буквенном виде войти линейные и угловые размеры, а в неравенства ограничения – неизвестные длины элементов.
Структура всех трех задач оптимального проектирования конструкций будет одинакова. Различие будет состоять в том, что целевая функция станет более сложнее, увеличится количество ограничений, усложнятся уравнения состояния.
Любая задача оптимального проектирования строительных конструкций состоит из двух частей, которые относятся к компетенции отдельных отраслей знания: экономике, инженерным конструкциям, строительной механике, математике.
В первой части задачи оптимального проектирования строительных конструкций проектировщики на основании знаний экономики, инженерных конструкций, строительной механики и сопротивления материала составляют математическое описание задачи с учетом требований устойчивости, прочности, деформативности, трещиностойкости, долговечности и т.п.
Во второй части задачи оптимального проектирования строительных конструкций, когда сформулирована ее математическая основа от проектировщиков, требуются отыскать условный экстремум функции цели при наличии ограничений. В этом случае от проектировщика потребуются знания специальных разделов прикладной математики – математического программирования.
Таким образом, для решения задачи оптимального проектирования строительных конструкций необходимо выполнить первый этап - составить математическое описание задачи, а затем выполнить второй этап - решить математическую задачу оптимизации.