Примеры решения задач оптимального проектирования строительных конструкций




Задача №1. Определение оптимального сечения центрально растянутого стального элемента ( по СНиП П-23-81. Стальные конструкции)

Характеристики исследуемого элемента: длина ℓ =3 м, продольное усилие N = 190 кН, расчетное сопротивление стали Ry = 240 МПа, коэффициент условия работы γс = 1,0; сечение постоянно по длине элемента ЕА = const.

Первый этап решения задачи – анализ центрально растянутого элемента.

1 шаг - определить границы элемента. Границы элемента представлены на рис. 4.

 

 

2 шаг – выбрать критерий оптимальности.

За критерий оптимальности принимаем массу (М) центрально растянутого элемента.

3 шаг – определить общее число независимых параметров, влияющих на величину критерия оптимальности, провести их ранжирование по степени влияния на величину критерия оптимальности.

Масса элемента определяется произведением длины элемента, площади сечения и удельного веса

М=А*ℓ*ρ (27)

В выражении (27) длина элемента и удельный вес стали ρ величины постоянные, то есть ℓ=3 м = const (по условию задачи), ρ =7850 кГ/м3= const. Поэтому независимой переменной (или управляемым параметром) является площадь поперечного сечения элемента А.

Таким образом, уравнение (27) имеет один независимый параметр А.

4 шаг – составить уравнение целевой функции.

Сначала представим описание некоторой основной величины F в ее зависимости от управляемых и неуправляемых параметров:

F = (х1; с1,...,с6) (28)

где управляемый параметр (независимый параметр) х1→площадь поперечного сечения растянутого элемента А; неуправляемые параметры (параметры, значения которых не подлежат изменению в рамках задачи):

с1→расчетное сопротивление стали Ry=240 МПа,

с2→коэффициент условия работы γc =1,0

с3→длина элемента ℓ=3 м,

с4→удельный вес стали ρ =7850 кГ/м3,

с5→предельная гибкость [λ] =400,

с6→усилие в стержне N=190 кН.

Для данной простейшей задачи, учитывая выражения (27) и (28), можно легко записать уравнение целевой функции

F=М = А*ℓ*ρ = А*3*78,5 = 235,5*А →min (29)

5 шаг – составить неравенства – ограничения.

Условие прочности

σ ≤ N/A ≤ Ryγc (30)

Условие жесткости

λ = ℓ / imin ≤ [λ] ≤ 400 (31)

6 шаг – составить уравнения состояния.

Уравнения состояния составлять не нужно, так как задача статически определима.

Второй этап решения задачи.

7 шаг - провести анализ целевой функции и неравенств-ограничений

Целевая функция (29) представляет собой уравнение с одним неизвестным (А). Условие прочности (30) представлено неравенством с одним неизвестным (А). Условие жесткости (31) представлено неравенством с одним неизвестным (imin).

Задача относится к линейному программированию.

8 шаг – выбор метода решения задачи линейного программирования. Так как задача с одним неизвестным, то решение задачи сводится к решению линейного уравнения (29) с одним неизвестным.

Проведем некоторые упрощения. Из условий прочности (30) и жесткости (31) определяем требуемые величины площади поперечного сечения и минимального радиуса инерции сечения стержня

Атр ≥ 190/24 ≥ 7,92 см 2 (32)

imin ≥ 300/400 ≥ 0,75 см. (33)

Решение задачи (29) лежит на пересечении двух прямых (32) и (33), что представлено на рис. 5 (т. М с координатами Атр = 7,92 см 2 и imin= 0,75 см.)

 

 

Так как подразумевается, что мы имеем в базе данных сокращенный сортамент стальных элементов, то выбираем профиль с наименьшим поперечным сечением. Однако, учитывая большую величину коэффициента градации сортамента, почти невозможно найти сечение стержня с характеристиками А = 7,92 см 2 и imin = 0,75 см (фактический экстремум в практических задачах чаще всего не совпадает с математическим). Поэтому решение задачи (минимум целевой функции) для разных видов поперечных сечений стержня минимальной массы будет находиться в области допустимых решений (в закрашенной области рис. 4). За окончательное решение принимаем сечение с характеристиками приближенными по величине к требуемым (т. М [ А = 7,92 см 2 и imin = 0,75 см ], рис.5).

По сортаменту подбираем профиль, площадь которого (Аф) и минимальный радиус инерции удовлетворяют условиям (32), (33). При этом для каждого профиля необходимо определить то сечение, которое удовлетворяет требованию минимальной массы элемента, т.е. удовлетворяет уравнению целевой функции (29). Для этого необходимо создать базу данных (сортамент) и провести расчет, например, в программе Exel.

Результаты по приведенному выше примеру представлены в табл. 2 и на рис 5.

Таблица 2

Результаты решения задачи оптимизации

 

Профиль Параметры сечения Равнобок. уголок Швеллер Двутавр Круглая труба Квадратная труба Парные равнобок.уголки
Сечение, мм 70*6 №8 №10 76*3,5 80*3 50*5, δ=10
Аф, см2 8,15 8,98   7,97 8,85 9,6
imin, см 2,15 1,19 1,22 2,57 3,1 2,45
F, кг 6,39 7,05 9,46 6,26 6.95 7,54
Fmin, кГ       6,26    

 

Вывод. Для требуемого элемента оптимальным сечением из условия минимальной массы будет сечение из круглой трубы размерами 76*3,5 мм (т. М1 с координатами А = 7,97 см2 и imin = 2,57 см на рис. 4).

 

Задача № 2. Определение оптимального сечения центрально растянутого стального элемента ( по СНиП П-23-81. Стальные конструкции)

 

Усложним задачу оптимизации центрально растянутого элемента. Характеристики исследуемого элемента: длина ℓ =3 м, продольное усилие N = 190 кН, коэффициент условия работы γс =1,0; сечение постоянно по длине элемента ЕА=const; 240 МПа≤Ry≤360 МПа.

Первый этап решения задачи – анализ центрально растянутого элемента.

1 шаг - определить границы элемента. Границы элемента представлены на рис. 4.

2 шаг – выбрать критерий оптимальности.

За критерий оптимальности принимаем массу центрально растянутого элемента.

3 шаг – определить общее число независимых параметров, влияющих на величину критерия оптимальности, провести их ранжирование по степени влияния на величину критерия оптимальности.

Масса элемента определяется произведением длины элемента, площади сечения и удельного веса (1) В этом выражении независимым параметром является площадь поперечного сечения элемента А, которая зависит от марки стали, то есть от величины расчетного сопротивления Ry. Мы имеем два независимых параметра

Произведем ранжирование независимых параметров.

1. Величина площади сечения (А) при N=const зависит от расчетного сопротивления стали (марки стали). Чем выше расчетное сопротивление, тем меньше площадь поперечного сечения растянутого элемента (4).

Таким образом, для центрально растянутого элемента основным неизвестным является расчетное сопротивление стали. За первый неизвестный параметр принимаем расчетное сопротивление стали, за второй – площадь поперечного сечения:

х1→ Ry,, х2→А. (34)

Учитывая (10), мы получаем задачу с двумя независимыми параметрами.

4 шаг – составить уравнение целевой функции.

Сначала представим описание некоторой основной величины F в ее зависимости от управляемых и неуправляемых параметров:

F=(х12; с1,...,с4) (35)

где управляемые параметры (независимые параметры) х1→расчетное сопротивление стали; х2→площадь поперечного сечения растянутого элемента; неуправляемые параметры (параметры, значения которых не подлежат изменению в рамках задачи)

с1→ коэффициент условия работы γc =1,0

с2→ длина элемента ℓ=3 м,

с3→ удельный вес стали ρ =7850 кГ/м3,

с4→предельная гибкость [λ] =400

Для данной задачи, учитывая выражения (27) и (28), можно легко записать уравнение целевой функции

F=М = А*ℓ*ρ →min (36)

5 шаг – составить неравенства – ограничения.

Условие прочности (37)

Условие жесткости λ= ℓ / imin ≤ [λ] = 400 (38)

 

Расчетное сопротивление 240 МПа ≤Ry ≤360 МПа (39)

А>0; i>0.

6 шаг – составить уравнения состояния.

Уравнения состояния составлять не нужно, так как задача статически определима.

Второй этап решения задачи. Для решения математической задачи оптимизации необходимо выполнить

7 шаг - провести анализ целевой функции и неравенств-ограничений

Целевая функция (36) представляет собой уравнение с одним неизвестным (А). Условие прочности (37) представлено неравенством с двумя неизвестными (А, Ry). Условие жесткости (38) представлено неравенством с одним неизвестным (imin).

Проведем некоторые упрощения в уравнении функции цели (36) с учетом ограничения (37)

F=М = *ℓ*ρ = *3*7,85 = 447,45* →min (40)

Неизвестный параметр в уравнении функции цели находится в знаменателе, поэтому задача относится к нелинейному программированию.

8 шаг – выбор метода решения задачи линейного программирования. Так как в 7 шаге мы выявили зависимость переменных А Ry, то получили уравнение функции цели с одним неизвестным. Поэтому решение задачи сводится к решению линейного уравнения (40) с одним неизвестным, но в нелинейной постановке.

Представим ограничения (37) и (39) графически (рис. 6). При этом с учетом ограничений (39) определим минимальные значения площади сечения растянутого элемента

Аmin =190/36=5,3 см2 (41)

Таким образом, мы получили область допустимых решений, ограниченную прямыми

Аmin = 190/36=5,3 см2; Ry ≤ 360 МПа; Ry ≥ 240 МПа

и кривой (на рис. 6 область допустимых решений закрашена).

 

По сортаменту подбираем профиль, площадь которого (А) и минимальный радиус инерции удовлетворяют условиям (37), (38). При этом для каждого профиля необходимо определить то сечение, которое удовлетворяет требованию минимальной массы элемента, т.е. удовлетворяет уравнению целевой функции (36). Для этого необходимо создать базу данных (сортамент) и провести расчет, например, в программе Exel.

На рис. 6 представлены значения стержней с минимальной массы из различных профилей. Оптимальным решением (с учетом существующего сортамента) является стержень из равностороннего уголка 56х5 мм с площадью сечения А = 5, 41 см2, выполненным из стали с расчетным сопротивлением Ry = 360 МПа (т. М2 на рис. 6).

Таким образом, задачи оптимального проектирования строительных конструкций это задачи, цель которых состоит в достижении наилучшего проектного решения при учете противоречивых требований проектирования: эффективности, надежности, долговечности, технологичности, эстетичности, экономичности. Поэтому они представляют собой сложные комплексные задачи, решаемые большой группой специалистов, в которую должны войти архитекторы, инженеры, технологи, экономисты, математики и др.

Все задачи оптимального проектирования строительных конструкций можно разделить на два этапа. 1 этап – формирование математического описания задачи (статический или динамический расчет конструкций, составление уравнения целевой функции, ограничений – неравенств, уравнений состояния). 2 этап – решение математической задачи оптимизации методами линейного или нелинейного программирования (рис. 7).

 

Тема 3. МЕТОДЫРЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО

ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В этой главе рассматриваются методы решения задач оптимизации, как задач линейного программирования. При этом будем считать, что математическое описание задачи выполнено, то есть, решена первая часть задачи оптимального проектирования строительных конструкций.

К задачам линейного программирования относятся задачи, в которых все переменные имеют степень, равную единице, разделены и все коэффициенты при этих переменных постоянны. Математически задача линейного программирования имеет такой вид:

минимизировать значение функции

F(x1, x2,…, xn) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn (42)

при ограничениях

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn = b1,

а21х1 + а22х2 + … + а2nхn = b2,

…………………………………

аm1х1 + аm2х2 + … + аmnхn = bm, (43)

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, …, хn ≥ 0, (44)

где сj, аij, bi – константы.

В выражении (42) всего m ограничений, часть из которых являются ограничениями – равенствами, остальные могут быть неравенствами со знаком ≥ или ≤.

При mn возможны три варианта решений: система имеет только одно решение; система имеет множество решений; система не имеет решения. При mn система имеет или множество решений, или несовместима.

Для решения задач линейного программирования используются графический метод, симплекс-метод, метод наискорейшего спуска, целочисленное программирование и др. Рассмотрим некоторые методы, наиболее предпочтительные для решения задач оптимизации строительных конструкций.

 

Графический метод

 

Графические методы решения линейных задач оптимального проектирования применяются в самых простейших случаях – при двух независимых переменных.

Тогда математическая задача имеет следующий вид:

минимизировать значение функции

F(x1, x2) = c1x1 + c2x2 (45)

при ограничениях

а11х1 + а12х2 = b1,

а21х1 + а22х2 = b2,

а31х1 + а32х2 = b3, (46)

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, (47)

 

3.2. Симплекс – метод

 

Впервые работа по линейному программированию была опубликована Канторовичем в 1939 году. В 1947 году Данциг разработал симплекс-метод, который привлек исследователей к задачам линейного программирования. Особенность этого метода состоит в возможности использования аналитического решения.

Симплекс-метод включает в себя два этапа: 1 этап - отыскание опорного решения задачи; 2 этап - переход от опорного решения к оптимальному. Проиллюстрируем содержание этого метода на примере.

Порядок решения задач линейного программирования симплекс – методом

Обычно в реальных задачах ограничения представлены в виде неравенств

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn ≤ b1,

а21х1 + а22х2 + … + а2nхn ≤ b2,

…………………………………

аm1х1 + аm2х2 + … + аmnхn ≤ bm, (63)

Поэтому для возможности использования симплекс – метода необходимо ограничения - неравенства (63) превратить в равенства, представить их в каноническом виде (43). Для этого вводятся дополнительные переменные параметры у1, у2 ,…, у m, количество которых определяется количеством ограничений

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn + у1 = b1,

а21х1 + а22х2 + … + а2nхn + у2 = b2,

…………………………………… … …

аm1х1 + аm2х2 + … + аmnхn + у m = bm, (64)

 

При этом дополнительные переменные параметры у1, у2 ,…, у m в уравнение функции цели не вводятся.

F(x1, x2,…, xn) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn (65)

Итак, с учетом вышесказанного, функция цели имеет линейный вид с разделенными переменными (65), а ограничения представлена системой канонических переменных (64), в которых неизвестные параметры положительны

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, …, хn ≥ 0, у1 ≥ 0, у2 ≥ 0,…, у m ≥ 0 (66)



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-02 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: