Входной контроль для студентов магистратуры
По эконометрике.
Имеется показатель х и другой показатель y.
Необходимо установить зависимость, что между х и y существует связь и линейная зависимость.
После того как установили, что переменные х1, х2, …, хn влияют на состояние y, можно определить количественное значение y.
y = а + в 1х1 + … + вn хn
Тема: Случайные величины и их оценки.
Вопросы:
1. Случайные величины и способы их описания.
2. Основные числовые характеристики случайных величин.
3. Оценки случайных величин и их свойства.
4. Характеристики связей и разброса случайных величин (ковариация, дисперсия, корреляция).
1. Случайные величины и способы их описания.
СВ (дискретные и непрерывные).
Х: х є Ω – (из множества Ω).
Дискретные: непрерывные:
Каждый бросок температура воздуха
игральной кости - 50 ÷ + 500 С
Описываются СВ с помощью закона распределения.
Используются правила.
Для дискретной СВ – закон распределения записывается с помощью ряда распределения.
Табл. значений хi и их вероятности:
| Х | Х1 | Х2 | … | Хn |
| Р | Р1 | Р2 | … | Рn |
Для кубика составляем ряд распределения:
| Х | ||||||
| Р | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Непрерывная СВ принимает бесконечные значения.
Закон распределения непрерывной СВ записывается с помощью функции распределения:
F (x) = Р { Х < х } – СВ примет значение не больше х.
x
 |
Свойства функции:
1. она не убывает. Если х > х2 то и F(x1) > F(x2)
F(x2) x2 F(x1) x1 x
P(x2 < x < x1)
2. F(- ∞) = 0.
3. F(+ ∞) = 1.
Вероятность попадания на интервал (один из способов задания СВ):
P(x2 < x < x1) = F(x1) - F(x2)
Другой способ описания СВ:
f (x) = F1(x) – производная от функции распределения.
Она обладает тем свойством, что плотность распределения не отрицательна т. к. функция неубывающая.
Основные числовые характеристики случайных величин.
Числовые характеристики – числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения случайной величины(CВ).
В силу определения, числовые характеристики СВ являются числами Н Е С Л У Ч А Й Н ЫМ И, определенными.
Наиболее важными являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др.
Математическое ожидание (МО).
МО характеризует положение СВ.
f(x)
x
mx
Математическим ожиданием (МО) или средним значением М(x) дискретной СВ Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
n
М(X) = Σ хi рi
i=1
_
(Для МО используются также обозначения: Е(x), Х.)
Для ряда распределения кубика МО определяется следующим образом:
М(X) = mx = Σ хi рi
i=1
| Х | ||||||
| Р | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Решение:
М(X) = 1* 1/6 + 2* 1/6 + 3* 1/6 + 4* 1/6 + 5* 1/6 + 6* 1/6 =
= 0.167 + 0.333 + 0.501 + 0.668 + 0.835 + 1.002 = 3.506
Полученный результат означает, что средний выигрыш
составит 3.506.
При n → ∞ МО представляет сумму ряда
∞
М(X) = mx = Σ хi рi , если он абсолютно сходится.
i=1
Свойства МО:
1) М(С) = C, где C – постоянная величина;
2) М(kX)=kM(X);
3) М(X ± Y)=M(X) ± M(Y);
4) М(X Y)=M(X) * M(Y), где X,Y – независимые СВ;
5) М(X ± С)=M(X) ± С;
6) М(X - a)= 0, где а = M(X).
Дисперсия СВ D(X). Дисперсия (ДСВ) характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений СВ относительно среднего значения.
Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X) = М[X - M(X)]2,
или D(X) = М[X -а]2, где а = М(X),
или может использоваться формула D(X) = М[X2 ] - mx 2 .
Если СВ Х - дискретная с конечным числом значений, то
n
D (X) = Σ (хi - ai)2 рi
i=1
Дисперсия D (X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно.
Дисперсия также используется в качестве показателя
рассеивания СВ.
Любую СВ можно представить как Х = mx + ε,
где ε – (эпсилон)- разброс. М(ε) = 0; D(X) = D(ε). Дисперсия СВ и ее разброс совпадают.
характеризует разброс СВ от ее МО.
f(x)
разброс
x
mx
↔
Свойства дисперсии СВ:
1. D (С) =0, где С – постоянная величина;
2. D(kX)=k2 D(X);
3. D(X) = М(X2) -а2, где а = M(X);
4. D(X + Y)= D(X) + D(Y), где Х и У – независимые случайные величины.
Среднее квадратическое отклонение (СКО) σх .
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) σх случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:
σх = √ D (X) = √ Σ (хi –mx)2 * рi