Потенциальная энергия упругой деформации при кручении рассчитывается по формуле - 
, где dl – длина элементарного участка вала. Если момент Мкр и жесткость по длине участка вала не меняется, то: 
. В случае вала состоящего из нескольких участков потенциальная энергия находится как сумма потенциальных энергий отдельных участков - 
.
Задача №1
Условие задачи: Для заданного вала (см. рис.1) вращающегося с постоянной скоростью w к которому через шкивы подводятся и снимаются мощности Ni:построить эпюру крутящего момента; подобрать сечение вала из условия прочности; подобрать сечение вала из условия жесткости построить эпюру углов закручивания.
Исходные данные: l1 = 100 мм; l2=200 мм; l3=300 мм; N1=6кВт; N2=4кВт; N3=2кВт;
w = 450 об/мин; d/D=0.9; n=1.5; [ Q]=1 град/м. Материал вала - Сталь 30 G=80000 МПа; s т = 300МПа.
рис.1
Решение:
1). Определим допускаемые касательные напряжения для материала вала используя известную для пластичных материалов зависимость: [t] = 0.5 × [s]. Допускаемые нормальные напряжения [s] = s т/ n = 300/1.5 = 200 МПа. Тогда: [t] = 0.5 × 200= 100 МПа.
2). Найдем значения внешних вращающих моментов приложенных к валу (см. рис.2) по формуле - 
Нм:
рис.2
Нм
Нм
Нм
Из условия равновесия вала можно определить крутящий момент М: M1-M+M2+M3=0 Þ М = M1+M2+M3 или М=127.3+84.9+42.4=254.6 Нм
3). Вал состоит из трех участков. Определим крутящие моменты на его участках методом сечений.
Рассчитаем крутящий момент вала в сечении I-I (см. рис.2). Для этого отбросим правую часть вала. Вместо отброшенной части приложим крутящий момент Мкр1 действующий в сечении I-I (см. рис.3), cоставим уравнение равновесия рассматриваемой части вала: Мкр1+М1= 0 Þ Мкр1= -М1= -127.3 Нм.
рис.3
Рассчитаем крутящий момент вала в сечении II-II. Для этого отбросим правую часть вала. Вместо отброшенной части приложим крутящий момент Мкр2 действующий в сечении II-II (см. рис.4), cоставим уравнение равновесия рассматриваемой части вала: Мкр2+М1-М = 0 Þ Мкр2= -М1+М = -127.3+254.6 = 127.3 Нм
рис.4
Рассчитаем крутящий момент вала в сечении III-III. Для этого отбросим левую часть вала. Вместо отброшенной части приложим крутящий момент Мкр3 (знак при этом меняется) действующий в сечении III-III (см. рис.5), cоставим уравнение равновесия рассматриваемой части вала: -Мкр3+М3=0 Þ Мкр3= М3= 42.4 Нм
рис.5
4). Найдем размеры поперечного сечения вала D и d из условия прочности: tmax £ [t], учитывая, что сечение вала по длине постоянно это условие можно переписать в виде: 
, где 
- максимальный по модулю крутящий момент.
Выразим полярный момент сопротивления сечения:
, где 
по условию задачи.
Из условия прочности вала выразим наружный диаметр D поперечного сечения вала:
мм, тогда внутренний диаметр кольца 
мм.
5). Найдем размеры поперечного сечения вала D и d теперь из условия жесткости:
.
Выразим полярный момент инерции сечения Ir:
и допускаемый угол закручивания: [Q] = 1 град/м = 0.0175 рад/м = 0.0175×10-3 рад/мм.
Из условия жесткости вала выразим наружный диаметр D кольцевого сечения:
мм, тогда внутренний диаметр кольца - 
мм.
Так как условие прочности и жесткости должны выполняться одновременно, поэтому принимаем диаметр вала D = 40.4мм.
При выбранных размерах поперечного сечения вала: 
мм3; 
мм4.
Максимальные касательные напряжения в сечениях вала:
МПа. – что значительно меньше допускаемого.
Распределение напряжений по поперечному сечению вала рис.6
рис.6
6). Определим углы закручивания сечений j (относительно левого шкива, условно считая его закрепленным) по формуле - 
:
рад;
рад;
рад.
Эпюра углов закручивания вместе с эпюрой крутящих моментов представлены на рис.7.
7). Определение потенциальной энергии упругой деформации вала по формулам -
U=U1+U2+U, 
[н·М]:
U1= 0.5×Mкр1×j1 = 0.5×127.3×(-0.002) = -0.127 Нм
U2= 0.5×Mкр2×j2 = 0.5×127.3×0.002 = 0.127 Нм
U3= 0.5×Mкр3×j3 = 0.5×42.4×0.004 = 0.085 Нм
U=U1+U2+U3 = -0.127+0.127+0.085 = 0.085 Нм.
рис.7
Задача №2
Условие задачи: Для заданного ступенчатого вала (см. рис.1), жестко защемленного по концам и нагруженного внешними крутящими моментами: раскрыть статическую неопределимость;рассчитать допустимую внешнюю нагрузку из условия прочности; построить эпюры крутящего момента и углов закручивания.
Исходные данные: a = 100 мм; h = b; d = b; b = 35 мм; m1 = m; m2 = 2m; d/D = 0.8; [Q] = 1 град/м. Материал вала - чугун СЧ 21-40, с пределами прочности: sвр = 210МПа – на растяжение; sвс = 1000МПа – на сжатиеи модулем сдвига G = 50000 МПа. Коэффициент запаса прочности – n = 2.
рис.1
Решение:
1). Определим допускаемые касательные напряжения для материала вала используя известную для хрупких материалов зависимость: [t] =(0.6...0.7) × [s]. Допускаемые нормальные напряжения [s] = s вр/ n = 210/2 = 105 МПа. Тогда: [t] = 0.67 × 105 = 70 МПа.
2). Система является один раз статически неопределимой (см. рис.2), так как в заделках А и В возникают два реактивных момента mA и mD, а для их определения имеется всего одно уравнение статики: 
.
рис.2
Следовательно, сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость.
Для раскрытия статической неопределимости отбрасываем сначала левую заделку и ее действие на вал заменяем моментом mA (см. рис.3). Дополнительное условие для определения mA (условие совместности деформации) можно сформулировать следующим образом: поворот левого торцевого сечения относительно правого равен нулю: 
.
рис.3
Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота торцевых сечений на участках AB, BC, CD: 
. Используя метод сечений выразим крутящие моменты на участках: 
- крутящий момент на участке АВ; 
- крутящий момент на участке ВС; 
- крутящий момент на участке СD.
Учитывая, что m1 = m, а m2 = 2m, можно записать:
, где I1 и Ir2 - соответственно моменты инерции прямоугольного и кольцевого сечений.
Выполняя элементарные преобразования получим: 
.
Для прямоугольного сечения 
, учитывая, что для 
коэффициент 
получим 
.
Для кольцевого сечения 
мм4, где 
.
Подставляя моменты инерции в уравнение совместности деформации получим:
Þ 
откуда
Þ mА=1.748m.
Момент в правой заделке mD найдем из условия статики mD= m + 2m – mA Þ mA = 3m - 1.748m Þ mD = 1.252m.
Построение эпюры крутящих моментов (см. рис.4)
MАВ= -ma = -1.748m
MBC= -ma+m1 = -1.748m+m = -0.748m
MCD=-ma+m1+m2 = -1.748m+m+2m = 1.252m
рис.4
3). Определим допускаемое значения внешней нагрузки из условия прочности.
Рассчитаем моменты сопротивления кручению поперечных сечений вала:
- прямоугольное сечение - 
, учитывая, что для коэффициент 
получим 
;
- кольцевое сечение - 
.
Опасным с точки зрения прочности будет участок вала с прямоугольным поперечным сечением у которого наибольший по модулю крутящий момент т.е. участок АВ, записывая для него условие прочности 
найдем допускаемую величину внешнего момента 
.
Из условия прочности для участка СD скольцевым поперечным сечением: 
снова найдем допускаемую величину внешнего момента
.
Так как условия прочности должны выполнятся для всех участков вала то в качестве допускаемой внешней нагрузки необходимо выбрать наименьшее из полученных значений - 
.