Хороший пример динамической системы — простой маятник. Его движение задаётся всего двумя переменными: положением и скоростью. Таким образом, его состояние — это точка на плоскости, координаты которой — положение маятника и его скорость.
Эволюция состояния описывается правилом, которое выводится из законов Ньютона и выражается математически в виде дифференциального уравнения. Когда маятник качается взад-вперёд, его состояние — точка на плоскости — движется по некоторой траектории («орбите»). В идеальном случае маятника без трения орбита представляет собой петлю; при наличии трения орбита закручивается по спирали к некоторой точке, соответствующей остановке маятника.
|
| Рисунок 1. |
Фазовое пространство даёт удобное средство для наглядного представления поведения динамической системы. Это абстрактное пространство, координатами в котором являются степени свободы системы. Например, движение маятника (вверху) полностью определено его начальной скоростью и положением.
Таким образом, его состоянию отвечает точка на плоскости, координатами которой являются положение и скорость маятника (внизу). Когда маятник качается, эта точка описывает некоторую траекторию, или «орбиту», в фазовом пространстве. Для идеального маятника без трения орбита представляет собой замкнутую кривую (внизу слева), в противном случае орбита сходится по спирали к точке (внизу справа).
Динамическая система может развиваться либо в непрерывном времени, либо в дискретном времени. Первая называется потоком, вторая — отображением (иногда каскадом). Маятник непрерывно движется от одного положения к другому и, следовательно, описывается динамической системой с непрерывным временем, т.е. потоком. Число насекомых, рождающихся каждый год в определённом ареале, или промежуток времени между каплями из подтекающего водопроводного крана более естественно описывать системой с дискретным временем, т.е. отображением.
Чтобы узнать, как развивается система из заданного начального состояния, нужно совершить бесконечно малое продвижение по орбите, а для этого можно воспользоваться динамикой (уравнениями движения). При таком методе объём вычислительной работы пропорционален времени, в течение которого мы хотим двигаться по орбите. Для простых систем типа маятника без трения может оказаться, что уравнения движения допускают решение в замкнутой форме, т.е. существует формула, выражающая любое будущее состояние через начальное состояние. Такое решение даёт «путь напрямик», т.е. более простой алгоритм, в котором для предсказания будущего используется только начальное состояние и окончательное время и который не требует прохода через все промежуточные состояния. В таком случае объём работы, затрачиваемой на прослеживание движения системы, почти не зависит от конечного значения времени. Так, если заданы уравнения движения планет и Луны, а также положения и скорости Земли и Луны, то можно, например, на много лет вперёд предсказать затмения.
Благодаря успешному нахождению решений в замкнутой форме для многих разнообразных простых систем на ранних стадиях развития физики появилась надежда, что для всякой механической системы существует такое решение. Теперь известно, что это, вообще говоря, не так. Непредсказуемое поведение хаотических динамических систем нельзя описать решением в замкнутой форме. Значит, при установлении их поведения у нас нет никакого «пути напрямик».
Фазовое пространство даёт мощное средство для изучения хаотических систем, так как оно позволяет представить их поведение в геометрической форме. Так, в нашем примере маятника с трением, который в конце концов останавливается, его траектория в фазовом пространстве приходит в некоторую точку. Это неподвижная точка; так как она притягивает близлежащие орбиты, её называют притягивающей неподвижной точкой, или аттрактором (от англ. to attract — притягивать. — Перев.). Если сообщить маятнику небольшой толчок, его орбита вернётся в неподвижную точку. Всякой системе, которая с течением времени приходит в состояние покоя, отвечает неподвижная точка в фазовом пространстве. Это явление имеет весьма общий характер: потери энергии из-за трения или, например, вязкости приводят к тому, что орбиты притягиваются к небольшому множеству фазового пространства, имеющему меньшую размерность.