Всякое такое множество называется аттрактором. Грубо говоря, аттрактор отвечает установившемуся поведению системы — тому, к которому она стремится.
| ||||
| Рисунок 2. |
Аттракторы — это геометрические структуры, характеризующие поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Грубо говоря, аттрактор — это то, к чему система стремится прийти, к чему она притягивается. Здесь аттракторы показаны синим цветом, а начальные состояния — красным. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Самый простой тип аттрактора — неподвижная точка (вверху слева). Такой аттрактор соответствует поведению маятника при наличии трения; маятник всегда приходит в одно и то же положение покоя независимо от того, как он начал колебаться (см. правую половину рис. 2).
Следующий, более сложный аттрактор — предельный цикл (вверху в центре), который имеет форму замкнутой петли в фазовом пространстве. Предельный цикл описывает устойчивые колебания, такие, как движение маятника в часах или биение сердца. Сложному колебанию, или квазипериодическому движению, соответствует аттрактор в форме тора (вверху справа).
Все три аттрактора предсказуемы: их поведение можно прогнозировать с любой точностью. Хаотические аттракторы соответствуют непредсказуемому движению и имеют более сложную геометрическую форму. Три примера хаотических аттракторов изображены в нижнем ряду; они получены (слева направо) Э. Лоренцем, О. Рёсслером и одним из авторов (Шоу) соответственно путём решения простых систем дифференциальных уравнений с трёхмерным фазовым пространством.
Хаотический аттрактор
|
| Рисунок 4. |
Хаотический аттрактор имеет гораздо более сложное строение, чем предсказуемые аттракторы — точка, предельный цикл или тор. В крупном масштабе хаотический аттрактор есть неровная поверхность со складками. Показаны этапы образования хаотического аттрактора на примере аттрактора Рёсслера (справа). Сначала близкие траектории на объекте расходятся экспоненциально (вверху слева); расстояние между соседними траекториями увеличивается примерно вдвое. Чтобы остаться в конечной области, объект складывается (внизу слева): поверхность сгибается и её края соединяются. Аттрактор Рёсслера наблюдался во многих системах, от потоков жидкости до химических реакций; этот факт иллюстрирует максиму Эйнштейна о том, что природа предпочитает простые структуры.
Некоторые системы не останавливаются по прошествии длительного времени, а циклически проходят некоторую последовательность состояний. Пример — часы с маятником, которые заводятся при помощи пружины или гирь. Маятник снова и снова повторяет свой путь.
В фазовом пространстве его движению соответствует периодическая траектория, или цикл. Неважно, как маятник запущен в движение — в конце концов он придёт к тому же циклу. Такие аттракторы называются предельными циклами. Другой знакомой всем системой с предельным циклом является сердце. Одна и та же система может иметь несколько аттракторов. Если это так, то разные начальные условия могут привести к разным аттракторам. Множество точек, приводящих к некоторому аттрактору, называется его областью притяжения. Система с маятником имеет две такие области: при небольшом смещении маятника от точки покоя он возвращается в эту точку, однако при большом отклонении часы начинают тикать, и маятник совершает стабильные колебания.
Более сложный аттрактор имеет форму тора (напоминающую поверхность бублика). Такая форма отвечает движению, составленному из двух независимых колебаний, — так называемому квазипериодическому движению. (Физические примеры можно построить при помощи электрических осцилляторов.) Траектория навивается на тор в фазовом пространстве, одна частота определяется временем оборота по малому кругу тора, другая — по большому кругу. Для комбинации более чем двух вращений аттракторами могут быть многомерные торы.
Выводы
До недавнего времени были известны лишь перечисленные виды аттракторов: неподвижные точки, предельные точки, предельные циклы и торы. В 1963 году Э. Лоренц из Массачусетского технологического института открыл конкретную систему низкой размерности со сложным поведением. Движимый желанием понять, в чём трудность с прогнозами погоды, он рассмотрел уравнения движения жидкости (они описывают и атмосферные течения) и путём упрощений получил систему ровно с тремя степенями свободы.
Тем не менее эта система вела себя случайным образом и не поддавалась адекватному описанию с помощью какого-нибудь из известных аттракторов. Обнаруженный Лоренцем аттрактор, называемый теперь его именем, стал первым примером хаотического, или странного, аттрактора.
Промоделировав свою простую систему на компьютере, Лоренц выявил основной механизм, который вызывал случайное поведение: микроскопические возмущения накапливаются и влияют на макроскопическое поведение. Две траектории с близкими начальными условиями экспоненциально расходятся в процессе эволюции, так что они проходят рядом лишь совсем недолго. В случае нехаотических аттракторов качественная картина совершенно другая. Для них близкие траектории так и остаются близкими, небольшие ошибки остаются ограниченными, и поведение предсказуемо.
Список литературы
1.Бурда А. Г. Математическое моделирование в управлении плодоводческими предприятиями / А. Г. Бурда, С. Н. Косников. Учеб.-метод. пособие. – Краснодар, 2012. – 101 с.
2. Бурда А.Г., Бурда Г.П., Гусельникова А.А. Математическая экономика. Учебное пособие для вузов. Краснодар, КГАУ, 2009 г., 2010 г.
3. Бурда Г.П., Бурда Ал.Г., Бурда Ан.Г. Моделирование экономики. Учебное посо-бие для вузов. В 2 частях. Часть I. Основы моделирования и оптимизации экономи-ки. Часть II. Методы моделирования производства и рынка - Краснодар: КГАУ, 2005.
4. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие / Под ред. П. В. Тру- сова. - М.: Логос, 2005. - 440 с.
5. Власов, М.П. Моделирование экономических процессов: учеб. пособие / М.П. Вла- сов, П.Д. Шимко – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 410 с.
6. Журнал «Математическое моделирование» (основан в 1989 г.).
7. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. – М.: Издательство Дело АНХ, 2008
8. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 496 с. 2-е изд. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XXI).
9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Питер, 2010 – 496 с.
10. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики М. Физматлит. 2004. - 320 с.
11. Математические методы и модели исследования операций / под ред. Колемаева. - Изд-тво: Юнити-Дана, 2007 г. 592 с.
12. Математические модели природы и общества. Монография. Калиткин Н.Н. и др.М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 360 с.
13. Параметризация, моделирование и оптимизация конкурентоспособного АПК: монография /А. И. Трубилин, А. Г. Бурда, Г. П. Бурда, И. М. Благивский, С. Н. Косников, В. В. Кочетов, Е. А. Метельская, С. И. Турлий, О. Ю. Франциско // под руководством и редакцией академика РАСХН, доктора экономических наук, профессора И. Т. Трубилина. – Краснодар: КубГАУ, 2012. – 630 с.
14. Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования: курс лекций. – М.: Флинта. – 2012. - 519 с.
другие источники:
https://www.ifilosofia.ru/;
https://bsu-philosophy.wikia.com/;
https://scicenter.online/
https://studopedia.su/
https://radaevslava.livejournal.com/