Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке

Тема 11. Производные высших порядков. Монотонность и локальный экстремум функции

Если есть производная от функции , то производная от называется второй производной, или производной второго порядка и обозначается , или , или .

Аналогично определяются производные любого порядка:производная третьего порядка ; производная n-го порядка:

Для произведения двух функций можно получить производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:

Пример:

Вторая производная от неявной функции

-уравнение определяет , как неявную функцию от х.

а) определим ;

б) продифференцируем по х левую и правую части равенства ,

причем, дифференцируя функцию по переменной х, помним, что есть функция от х:

;

в) заменяя через , получим: и т.д.

Пример:

Производные от функций, заданных параметрически

Пример:

Найти если .

Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке

Всюду далее функция f (x) определена на рассматриваемых промежутках.

Теорема 1 (достаточное условие монотонности). Дифференцируемая на (a, b) функция возрастает (убывает) на этом интервале тогда и только тогда, когда

Точка х ₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x), если существует некоторая окрестность точки такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции.

Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции.

Теорема 2 (необходимое условие существования экстремума функции). Если в точке функция f (x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Те точки из области определения функции f (x), в которых производная функции f (x) обращается в нуль или не существует, называют критическими. Исследование функции на экстремум начинается с нахождения критических точек. Однако не в каждой критической точке существует экстремум. Для того чтобы определить точки экстремума, используют достаточные условия (признаки экстремума).

Теорема 3 (первый признак экстремума функции). Пусть – критическая точка непрерывной функции f (x). Если в некоторой окрестности точки выполняется условие

то – точка локального максимума;

если выполняется условие

то – точка локального минимума.

Если производная имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестности точки то не является точкой экстремума.

Теорема 4 (второй признак экстремума функции). Пусть – критическая точка дважды дифференцируемой функции f (x). Тогда является точкой локального минимума функции f (x), если и точкой локального максимума, если

Теорема 5 (третий признак экстремума функции). Пусть f (x) – n раз непрерывно дифференцируемая в критической точке функция и Тогда:

1) если n – четное и то – точка локального максимума;

2) если n – четное и то – точка локального минимума;

3) если n – нечетное, то не является точкой локального экстремума.

З а м е ч а н и е 1.При исследовании функции и построении ее графика целесообразно использовать первый признак экстремума, так как одновременно получаем возможность исследования функции на монотонность.

Точка называется точкой глобального максимума (минимума) функции f (x) на некотором промежутке, если для любой точки x из этого промежутка выполняется неравенство

Точки глобального максимума и минимума называются точками глобального экстремума. Значения функции в этих точках называются соответственно глобальным максимумом (наибольшим значением) и глобальным минимумом (наименьшим значением).

Пример 1. Найти экстремумы функции

Решение. Подозрительными на экстремумы точками будут те, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Найдем производную функции:

Она определена для любого

Приравняем производную к нулю:

значит, Решая это уравнение, получим Областью определения функции является числовая прямая.

Исследуем функцию на экстремум в этих точках тремя способами.

1-й способ. Воспользовавшись теоремой 3, исследуем поведение функции на промежутках

Для этого определим знак производной, т. е. выражения Очевидно, что для всякого выполняется неравенство Поэтому знак выражения зависит от знака квадратичного выражения (рис. 17.4).

–

Рис. 17.4

Так как при «переходе» через точку с абсциссой производная меняет знак с «+» на «–», то, согласно теореме 1, в этой точке функция достигает максимума.

При «переходе» через точку производная меняет знак с «–» на «+». Поэтому в данной точке функция достигает минимума.

2-й способ. Воспользуясь теоремой 4, вычислим вторую производную функции:

Вычислим ее значение в критических точках и

Согласно теореме 4, в точке функция достигает максимума.

Согласно теореме 4 в точке функция достигает минимума.

3-й способ. Воспользуемся теоремой 5. Так как производная первого порядка в точке равна нулю, а производная второго (четного) порядка в этой точке меньше нуля, то, согласно теореме 5, – точка локального максимума. В точке производная первого порядка также равна нулю, а производная второго (четного) порядка больше нуля. Следовательно, точка – точка локального минимума.

Вычислим максимум и минимум функции.

Максимум функции равен значению функции в точке

Итак, локальный максимум функции равен

Вычислим значение функции в точке

Итак, локальный минимум функции равен

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [– 2, 2].

Решение. Найдем точки, которые будут подозрительными на экстремум. Для этого вычислим производную функции

Производная существует во всех точках Найдем критические точки. Полагаем т. е. Получаем Обе точки и принадлежат интервалу (– 2, 2). Поэтому, будем искать значение функции в этих точках и на концах отрезка. Вычисляем: