Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.




Теорема 2: Сумма произведений элементов некоторой строки квадратной матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Теорема 100: Определитель, в котором все элементы одной из строк (столбцов), кроме одного, равны нулю равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример 1 Найти определитель матрицы A:

Решение:

 

Задачи для решения

 

1 Найдите определитель 2-го порядка:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2 Найдите определитель 3-го порядка:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)

ж) ; з) ; и) ;

к) л) м)

3 Найдите определитель 4-го порядка:

а) б) в) г)

д) е)

4 Найдите определитель 5-го порядка:

а) б) в)

5 Решите уравнения, пользуясь соответствующими свойствами определителя (не применяя правило Саррюса):

а) б) в)

г) д) е)

6 Вычислить определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:

а) б) в)

7 Путем разложения по элементам третьей строки вычислить:

а) ; б) ; в)

 

Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения

 

Пусть A – квадратная матрица.

Матрица B называется обратной к матрице A, если

Обратная матрица обозначается A-1 и .

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Уравнение вида называют простейшим матричным уравнением. Если A – квадратная невырожденная матрица, то решением такого уравнения будет матрица .

Если уравнение имеет вид , то .

Пример 1 Найти матрицу обратную данной:

Решение

1) Найдем определитель матрицы A.

Следовательно, матрица А невырожденная и имеет себе обратную.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A.

3) Запишем A-1:

4) Выполним проверку:

Пример 2 Решить матричное уравнение:

Решение

 

Задачи для решения

 

1 Найти матрицу, обратную данной:

а) б) в) г) д)

е) ж) з) и)

к) л) м) н)

о) п) .

2 Решите матричное уравнение:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к) .

 

Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений

Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде

Пусть дана система линейных уравнений:

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде столбцевых матриц:

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или

A·X = B (1)

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Отсюда

Х = B.

Таким образом, чтобы решить систему уравнение, нужно:

1) Найти обратную матрицу .

2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов В, т. e. Х = B.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Пример Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А-1.

D = = 5 2 2 + (-1) 3 4 + (-1) 1 3 - ((-1) 2 4 + 5 3 3 + 1 (-1) 2) =

= 20 - 12 - 3 - (- 8 + 45 - 2) = 5-35 = -30.

= - 5; A21 = ; A31 =

A12 = A22 = ; A32 = ;

A13 = ; A23 = A33 =

A-1 = = ;

Cделаем проверку:

A×A-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А-1В = × = .

Проверка:

(верно)

Решением системы является набор (1, 2, 3): x = 1; y = 2; z = 3.

 

Задачи для решения

 

1 Решить системы линейных уравнений матричным методом

а) б) в)

г) д) е)

2 Решить системы линейных уравнений

а) б)

в) г)

д) е)

Тема 2 Правило Крамера

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

Обозначим через Δ и Δ j определитель матрицы системы и определители, полученные из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов системы:

Если определитель матрицы системы отличен от нуля, Δ≠0, то решение системы определяется равенствами:

Пример Решим по правилу Крамера систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Запишем матрицу системы, столбец свободных членов и вычислим определитель матрицы системы:

.

Определитель матрицы системы отличен от нуля. Система имеет единственное решение. Вычислим его по формулам Крамера. Для этого найдем определители .

.

.

Проверим:

.

1 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

а) б) в)

г) д) ж)

з) и)

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: