При анализе математического творчества Евклида большое значение имеет его авторство «Начал», по которым учились математики всего мира. Содержание книги не исчерпывается элементарной геометрией — это основы всей античной математики. Среди областей математики Евклидом были избраны планиметрия и стереометрия, геометрическая алгебра и решение квадратных уравнений, теория чисел, учение об отношениях чисел и отношениях величин, классификация квадратичных иррациональностей, метод исчерпывания. Вероятно, целью Евклида при написании тринадцати книг «Начал» являлось описание основных элементов, на основе которых могли быть развиты все математические разделы, существовавшие в его время. Сочинение Евклида базируется на целом ряде постулатов, а именно: 1. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую; 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой; 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг; 4. Все прямые углы равны между собой; 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых»[10]. Если первые три постулата описывают простейшие построения при помощи циркуля и линейки, то 4-й постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. Наконец, пятый известный постулат о параллельных прямых обеспечивает существование точки их пересечения. Впоследствии вVв. н.э. он был упрощен Проклом (древнегреческим философом-неоплатоником), а в настоящее время вошел во все современные учебники. Необходимо отметить, что все аксиомы, кроме 4-й, относятся не только к геометрическим, но и к математическим величинам. Таким образом, «геометрическая алгебра» Евклида состоит в следующем: 1) алгебраические переменные понимаются как отрезки; 2) сумма двух или нескольких алгебраических переменных понимается как отрезок, составленный из отрезков-слагаемых; 3) произведение двух переменных a и b понимается как прямоугольник, смежные стороны которого представляют собой отрезки, соответствующие a и b. Произведение трёх переменных a, b и c — это уже прямоугольный параллелепипед, три измерения которого суть отрезки, соответствующие a, b и c[11]. Евклидово понятие геометрической алгебры неоднократно подвергалось серьёзной критике[12]. Несмотря на то, что всю вторую книгу «Начал» можно перевести на язык алгебры, а, значит, констатировать историческое единство математики от эпохи Евклида до настоящего времени, нет никаких оснований полагать, что именно подобный перевод передаёт суть теории евклидовой теории. Усомниться в том, что алгебра является адекватным средством для понимания теории Евклида, позволяет резкий контраст между систематической формой изложения Евклида и беспорядочностью его доказательств алгебраических формул.В частности, вспомогательные предложения 5 и 6 пунктов представляют собой лишь частные случаи решения квадратных уравнений в геометрической алгебре. Однако, по мнению ряда исследователей, именно евклидово пространство геометрической алгебры обеспечивает естественный переход, как с научной, так и с педагогической точки зрения, от векторныхк более сложным пространственным моделям[13].
Арифметика Диофанта
Древнегреческий математик Диофант Александрийский нередко упоминается исследователями как «отец алгебры». Ему принадлежит авторство «Арифметики» — труда в 13 книгах, посвящённого нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений[14]. В современную нам эпоху под «диофантовыми уравнениями» принято понимать уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел. Кроме того, именно Диофант был первым греческим математиком, рассматривавшим дроби наравне с другими числами. Именно он первым среди других античных учёных предложил использование особой математической символики, которая позволяла формулировать полученные в ходе расчетов результаты в компактном виде. От знаменитой «Арифметики» Диофанта сохранились только первые шесть книг. В первой из них подробно описаны используемые автором обозначения (например, неизвестную он называет «числом», а куб - символом ΚΥ). При этом у Диофанта отсутствует знак сложения, вместо которого рядом пишутся положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене вначале записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены тоже записываются рядом, а перед всей группой ставится особое обозначение в виде перевёрнутой буквы Ψ, а знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ. Диофантом также были сформулированы правила приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения, введено правило знаков («минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»). Значительная часть сохранившегося труда Диофанта представляет собой задачи с решениями, целью которых является иллюстрация применяемых им методов. Однако основу его труда составляет нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. При этом Диофант в нетипичной для античного математика трактовке понимает рациональные числа как те же натуральные[15]. При решении систем уравнений второго порядка от двух неизвестных, он описывает методику других возможных решений, если одно уже известно. Подобные методы применяются автором к уравнениям высших степеней. Еще в Х в. труд Диофанта был переведен на арабский язык, а в 1621 г. появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики», выполненный Баше де Мезириаком. Благодаря тщательному анализу методики Диофанта Э. Уайлсом в 1995 г. была доказана Великая теорема Ферма, сформулированная Пьером Ферма еще в 1637 г.[16]
Арабская математика
История математики в странах Ближнего и Среднего Востока, доступная для понимания современных исследователей, начинается с VIII века после мусульманского завоевания. Математика Востока отличалась практичным характером, а наибольшее значение в ней имели вычислительные и измерительные аспекты.Особенно весомый вклад в ее развитие внесли ал-Хорезми, ал-Каши, Омар Хайям и некоторые другие ученые своего времени[17]. Арабская нумерация вначале была буквенной и, видимо, имела финикийско-еврейское происхождение[18]. Арабы сумели усвоить индийскую десятичную позиционную систему счисления с нулем. Ее сумел популяризировать в своих трактатах знаменитый арабский ученый Муххамад ал-Хорезми. Тем не менее, она оставалась словесной длительное время, наряду с цифровыми системами восточных и западных арабов, которое появились только в Х веке[19]. Введение десятичной позиционной нумерации, впервые встречающейся в книге ал-Хорезми «Об индийском счете», являлось важнейшей заслугой багдадской школы[20]. Этим же автором в первой трети IX в. было составлено первое руководство по арифметике, основанное на позиционном принципе. В своем алгебраическом трактате ал-Хорезми подробно описывает сложение и вычитание, деление и извлечение квадратного корня на основе индийских цифр. В числе арифметических действий ученый выделял удвоение и раздвоение, на основании их применения при извлечении квадратного корня. Чтобы решить какое-либо конкретное уравнение первой или второй степеней, требовалось применить операции «ал-джабр» (восполнение) и «ал-мукабала» (противопоставление). Словом «ал-джабр» обозначался перенос вычитаемого члена уравнения в другую его часть в виде прибавляемого члена, а словом «валмукабала» – уничтожение равных членов в обеих частях уравнения[21]. Для выражения долей единицы или аликвотных дробей в арабском языке употреблялось понятие конкретной дроби, которая выражала одну или несколько частей предполагаемой делимой (так как абстрактная единица считалась неделимой). Наряду с этим существовала и иная концепция дроби как отношения двух отвлеченных целых чисел, восходящая к античной теории пропорций, служившая теоретической основой арабской арифметики. В последней, в свою очередь, прослеживалась тенденция к отождествлению числа и отношения. На основании трудов Джемшида Ибн Масуда ал-Каши были сформулированы основные правила действий с десятичными дробями, способы перевода шестидесятиричных дробей в десятичные и обратно в его книге «Ключ арифметики» (1427). Прославленный поэт XI—XII вв.Омар Хайям также внёс вклад в арабскую математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы», где изложил оригинальные методы решения кубических уравнений. Еще до Хайяма был известен геометрический метод, по которому неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений[22]. Хайям привёл не только обоснование данного метода, но и классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа положительных корней и их величины. При этом Хайям не усматривал возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня. В «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида» (ок. 1077), Хайям рассматривает иррациональные числа как вполне законные. Кроме того, ему принадлежит «Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы», в котором даётся классификация уравнений и излагается решение уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени[23]. Таким образом, арабские математики внесли существенный вклад в развитие алгебры, благодаря которым она оформилась в отдельную дисциплину. Она являлась одновременно теоретической наукой, алгоритмической техникой, а также искусством вычислений.
Кубические уравнения
Кубические уравнения были известны с глубокой древности жителям Греции, Китая, Египта и Вавилона[24]. В частности, до наших дней дошли клинописные таблички Старовавилонского периода (20—16 век до нашей эры), описывающие вычисления кубов и кубических корней[25]. Еще с III в. нашей эры вышеупомянутым математиком Древней Греции Диофантом были найдены целые и рациональные решения для ряда кубических уравнений с двумя неизвестными, которые в последствие и получили название «диофантовых уравнений»[26]. Однако более близко к решению кубических уравнений при помощи канонических сечений подошли Гиппократ, Менехм и Архимед. Методы решения кубических уравнений присутствуют также в тексте «Математики» в девяти книгах, составленном в Китае и прокомментированном Лю Хуэем в третьем столетии до н.э. Значительный прогресс в решении кубических уравнений был достигнут в XI веке упоминавшимся выше Омар Хайямом. Именно он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь несколько решений, а также не может быть решено с помощью циркуля и линейки. В его «Трактате о демонстрации задач алгебры» он представил полную классификацию кубических уравнений, в том числе, с их геометрическими решениями, использующими пересечения конических сечений. В том же время персидским математиком Шараф ад-Дин был составлен «Трактат об уравнениях», раскрывающий восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов, не имеющих таковых. Фактически автором был применен метод, позднее получивший название «Руффини — Горнера» для численной аппроксимации корня кубического уравнения[27]. Таким образом, решение поиск решения кубических уравнений, который велся еще в глубокой древности. Методы решения данного вида уравнений разрабатывались учеными как правило, на основе опыта предшествующих столетий. Научные открытия математиков древнего мира получили свое развитие в эпоху Возрождения.
Немецкая школа КОСС
В рамках процесса создания алгебраической символики важной вехой было создание Л. Пачоли так называемых «алгебраических букв», при помощи которых обозначались неизвестная и ее степени вплоть до XVI столетия. Следующим важным этапом в этом направлении являлась деятельность немецкой школы «коссистов» (название происходит от итал. сossа – вещь, обозначавшая неизвестную у итальянских алгебраистов). Первые устойчивые обозначения знаков + и – встречаются в труде чешского математика Яна Видмана - «Быстрый и красивый счет для всего купечества»[28]. В числе наиболее знаменитых представителей школы «КОСС» можно также отметить Адама Ризе, написавшего учебник «Coss» в 1524 г., посвященный изложению уравнений первой и второй степеней и примеров на их известные случаи. Стоит также упомянуть Кристофера Рудольфа, выпустившего в 1525 г. в Страсбурге учебник под названием «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс»[29]. В этой книге он предложил знак корня или радикала, прочно закрепившийся в науке, одним из первых употребил термин «алгоритм». Значение школы «коссистов» состоит в том, что она получила широкое распространение не только в Германии, но и в других странах Европы.