Тема 8. Предел последовательности и функции. Непрерывность функции
Предел последовательности
Число а называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа e найдется такой номер n (e) (зависящий от e), что, начиная с этого номера (т. е. для всех n ³ n (e)), будет выполняться неравенство (1)
Обозначают:
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.
Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой.
Свойства бесконечно малых последовательностей:
1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;
2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;
3) для того чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство где – бесконечно малая последовательность.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдется такой номер что для всех n, начиная с этого номера выполняется неравенство
Если последовательность (хn) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут
Последовательность не имеет предела в двух случаях:
1) предел не определен;
2) последовательность является бесконечно большой.
Если (xn) – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.
Если (xn) – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.
Если последовательности (xn), (уn) имеют пределы, то справедливы следующие свойства:
1) где
2)
3)
4) где
Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей.
При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределенности вида Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.
Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
Решение. Выбираем произвольное число Согласно определению, число 3 является пределом последовательности (xn), если сможем указать такой номер что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство (1), которое в нашем случае имеет вид:
(2)
Неравенство (2) равносильно неравенству т. е. или
Поскольку и из последнего неравенства получаем:
В качестве номера члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (2), может быть выбрано натуральное число
Этим мы доказали, что существует номер члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (1) для заданной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последовательности.
Пример 2. Вычислить предел последовательности:
1) 2)
3)
Решение. 1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, так как непосредственно вычисление приводит к неопределенности типа
Разделим далее числитель и знаменатель дроби на старшую степень, т. е. на n 3, и получим:
так как при последовательности и стремятся к нулю.
Таким образом, приходим к ответу:
2) Так как по определению факториала
то получаем:
Делением на старшую степень выражения, т. е. на n 3, убеждаемся, что
3) Поскольку при имеем и то выражение дает неопределенность типа Умножив и разделив выражение на сопряженный множитель получим:
Разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т. е. на тогда:
Таким образом, получаем ответ:
Предел функции
Число а называется пределом последовательности , если для любого существует целое положительное число N, зависящее от ε, такое, что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство . Предел обозначается .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Определение 1. Число А называется пределом функции f (x) в точке (или при ), если для любой, сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А. Предел обозначается .
Определение 2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число – предел функции в точке , если для любого существует такое , что из следует неравенство .
Число – предел функции в точке справа (слева)
, если определена в некоторой окрестности точки и для любого существует такое , что изнеравенства следует неравенство .
Рис. 1. Предел слева |
Рис. 2. Предел справа |