Производная по направлению




Пусть снова функция задана в области и имеет во всех точках частные производные по всем переменным . Предположим, что все частные производные непрерывны в точке . Тогда функция дифференцируема в точке , то есть приращение функции имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:

где -- величина большего порядка малости при , чем . Напомним, что

так что получаем

(8.1)


Фиксируем теперь в какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор Через точку в направлении вектора проходит некоторая ось . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки этой оси можно задать параметрическими уравнениями:

или, в векторном виде, , где и увеличению значений параметра соответствует движение точки оси в направлении вектора .

Обозначим ту часть оси , которая состоит из точек оси, следующих после , то есть точек луча , получающегося при .

Определение 8.2 Значение предела

называется производной функции по направлению оси (или луча) (илипо направлению вектора ), вычисленной в точке . Производная по направлению обозначается или

Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции при прямолинейном и равномерном движении точки вдоль оси в момент .

Заметим, что если направление оси совпадает с направлением одной из координатных осей , то производная функции по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции по соответствующей переменной . Если существует (двусторонняя) частная производная по , то получаем, что

если .

Используя параметризацию точки на луче вида и замечая, что условие означает, что , получаем:

Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):

 


Отсюда

 
 


Здесь в правой части первые слагаемых не зависят от . Поскольку при , то последний предел равен 0, так как -- величина большего порядка малости, чем . Итак, получили формулу

С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления .

Заметим, что в правой части полученной формулы первый множитель каждого слагаемого -- это компонента вектора , а второй множитель -- компонента вектора . Этот вектор лишь длиной отличается от вектора ; направление его, очевидно, то же, что у . Длина вектора равна 1:

Поэтому компоненты вектора -- это направляющие косинусы -- косинусы углов между осью и осями координат :

где -- единичный направляющий вектор оси , , а точкой обозначено скалярное произведение векторов и . Таким образом, имеет место следующая теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:

Теорема 8.1 Если все частные производные функции непрерывны в точке и направление оси задано вектором , то

где -- единичный направляющий вектор оси , или

где -- углы между осью и осями .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: