Напомним, что для скалярного произведения 
двух векторов 
и 
выполнеяется равенство
где 
-- угол между векторами и . Записав это равенство для векторов 
и 
, получим, что
где -- угол между осью 
и вектором 
, поскольку 
. Учитывая, что 
, получаем:
Поскольку величина модуля градиента не зависит от угла , а 
может изменяться от 
до 1, получаем, что своё максимальное значение 
производная по направлению 
принимает при 
(когда 
), то есть при условии, что направление оси совпадает с направлением градиента. Минимальное значение производной по направлению, равное 
, получается при 
(когда 
), то есть при оси , направленной противоположно вектору 
.
Заметим также, что 
, если ось направлена перпендикулярно вектору : тогда 
и 
. Верно и обратное: если 
, то , только если ось направлена перпендикулярно вектору .
Поскольку значение можно, соответствующим образом выбрав угол , сделать равным любому числу из отрезка 
, то значение производной по направлению принимает любые значения на отрезке 
Определение 8.3 Пусть функция 
задана в некоторой области пространства 
, 
. Поверхность в пространстве , определённая уравнением 
, где 
-- постоянная, называется поверхностью уровня функции . Если 
, то множество, заданное уравнением 
, называется линией уровня.
Пример 8.2 Пусть в 
задана функция
Тогда при 
её линия уровня представляет собой пустое множество, так как при всех 
верно неравенство
При 
линия уровня состоит из одной точки 
, так как равенство
возможно лишь при 
.
При 
уравнение
задаёт эллипс с центром в точке и полуосями 
и 
, поскольку при уравнение можно записать в виде
Рис.8.1.
При увеличении полуоси и увеличиваются пропорционально друг другу, так что эксцентриситеты всех эллипсов совпадают.
Пример 8.3 Поверхностями уровня линейной функции
служат плоскости, заданные уравнениями
то есть
При изменении эта плоскость сдвигается, так что при разных значениях 
и 
поверхности уровня -- плоскости
и 
параллельны друг другу.
Заметим, что если функция задана в области 
, то через каждую точку 
области проходит некоторая поверхность уровня (а именно, поверхность уровня 
). Поверхности уровня, соответствующие разным значениям , не пересекаются друг с другом. (Действительно, если бы поверхности 
и 
, где 
, пересекались в некоторой точке , то функция 
принимала бы в точке , с одной стороны, значение , а с другой стороны -- значение 
, что невозможно.)
Итак, при передвижении точки 
по поверхности уровня функции значения не изменяются. Если поверхность уровня представляет собою плоскость 
, то вдоль любой оси , лежащей в этой плоскости, производная по направлению 
будет равняться 0, так как во всех точках оси функция принимает одно и то же значение . Значит, вектор 
, вычисленный в любой точке этой плоскости, ей перпендикулярен.
Так же обстоит дело и в случае, когда поверхность уровня -- это не обязательно плоскость (но произвольная поверхность): в этом случае градиент оказывается перпендикулярным к касательной плоскости, проведённой к этой поверхности уровня.
Наводящие соображения при этом таковы. Во всех точках поверхности 
значение функции постоянно и равно . Рассмотрим поверхность близкого уровня 
: 
. Тогда разность значений функции в точках поверхностей 
и 
постоянна и равна 
. Рассмотрим произвольную ось , проходящую через точку . Эта ось пересекает поверхность в некоторой точке 
.
Рис.8.2.
Тогда
(Приближённое равенство тем точнее, чем меньще .) Пусть для простоты 
. При постоянном последняя дробь принимает наибольшее значение, если знаменатель минимален, то есть точка 
-- ближайшая к поверхности . Очевидно, что такая точка должна лежать на перпендикуляре к касательной плоскости 
, проведённой к в точке , то есть 
.
С другой стороны, направление, в котором производная максимальна -- это направление вектора . Значит, направление вектора перпендикулярно касательной плоскости , что и требовалось получить.
Более точную формулировку даёт следующая
Теорема 8.2 Пусть поверхность уровня дифференцируемой функции (
) такова, что в точке 
можно провести к касательную плоскость (размерности 
). Тогда вектор перпендикулярен плоскости .
Доказательство. Если 
, то утверждение теоремы верно. Предположим теперь, что . Значит, хотя бы одна из компонент градиента отлична от 0; предположим для определённости, что это 
. Тогда, согласно теореме о неявной функции, из уравнения
переменную 
можно выразить через остальные переменные 
, по крайней мере в некоторой окрестности точки 
:
Таким образом, в некоторой окрестности точки поверхность можно представить как график функции , которая зависит от переменного и задана в некоторой окрестности точки 
. Касательная плоскость к поверхности задаётся тогда уравнением
Однако производные неявно заданной функции вычисляются так:
так что, умножая левую и правую части уравнения касательной плоскости на и перенося все слагаемые в левую часть, можем записать уравнение касательной плоскости в виде
Эта плоскость перпендикулярна вектору, компонентами которого служат коэффициенты при 
, то есть вектору
что и требовалось доказать.
Замечание 8.1 Заметим, что заодно мы получили уравнение касательной плоскости к поверхности уровня в виде
| (8.2) |
где -- точка касания. Это уравнение можно также записать в виде
где точка 
означает скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что любую поверхность, заданную уравнением
мы можем рассматривать как поверхность уровня для функции .
Пример 8.4 Пусть поверхность задана уравнением
в трёхмерном пространстве с координатами 
(это эллипсоид с центром в начале координат и полуосями 
, 
, 
). Возьмём на эллипсоиде точку 
(проверьте, что она лежит на эллипсоиде!) и найдём уравнение касательной плоскости в этой точке.
Поскольку для функции
поверхность служит поверхностью уровня 
, то можно применить формулу (8.2). Частные производные равны:
Поэтому
и
Теперь выписываем уравнение касательной плоскости:
или
