Дифференциальное исчисление.
§1. Понятие производной функции.
Пусть функция 
определена и непрерывна на промежутке X.
|
. Дадим аргументу x приращение 
так, чтобы 
. Тогда функция получит приращение 
.
Опр. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
Производную функции обозначают также 
, 
. Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.
Выясним геометрический смысл производной. Проведем секущую АВ. Из 
следуют соотношения: 
.
При 
точка В будет двигаться по дуге к т. А, и секущая АВ будет стремиться к положению касательной, т.е.
,
где 
- угол между касательной к графику в т. 
и положительным направлением оси Ох. Таким образом, в геометрическом смысле производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Пример 1.Найти производную функции у=х.
Решение. Для любой точки найдем производную:
.
Пример 2. Найти производную функции 
.
Решение. Для любой точки найдем производную:
Аналогично можно найти производные всех основных элементарных функций.
Производные основных элементарных функций.
Функция 
| Производная
| Функция
| Производная
| |
| C | 
| 
| ||
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
| |
|
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
Дифференцируемость функции.
Опр. Числовая функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:
,
где А – некоторое число, 
- функция от , являющаяся бесконечно малой при 
.
Утв. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Теорема1 (о связи между непрерывностью и дифференцируемостью).
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Док-во. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда, по определению, ее приращение можно представить в виде . Переходя в этом равенстве к пределу при 
, получим:
, что соответствует определению непрерывности функции.▲
Теорема 1 является необходимым (но не достаточным) признаком дифференцируемости функции в точке. Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Пример.
Рассмотрим функцию 
, непрерывную в нуле. Докажем, что функция не дифференцируема в т. х=0.
;
.
Т.к. односторонние пределы в нуле не равны, предел 
не существует.
Основные правила дифференцирования.
1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
.
2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: 
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:
.
3. Производная частногодвух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: 
(
).
Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).
Рассмотрим функцию 
. Дадим аргументу 
приращение 
, аргументу 
приращение 
. Соответственно, их произведение получит приращение
.
Составим отношение 
. Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:
4. Дифференцирование обратной функции.
Если функция 
имеет обратную функцию 
и 
, то обратная функция дифференцируема в точке 
, причем
.
5.
Дифференцирование сложной функции.
Если функции 
и 
дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции 
существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: 
.
Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:
Пример. Найти производную функции 
.