БИЛЕТЫПО ГЕОМЕТРИИ. 8 «К» КЛАСС. 2014-15 ГГ
В каждый билет по геометрии входит 1 вопрос по теории и 3 задачи.
Блок 1. Теоретическая часть.
1. Многоугольник. Выпуклый многоугольник. Сумма углов многоугольника
(док-во). Четырехугольник. Элементы четырехугольника.
2. Параллелограмм. Определение. Свойства (док-во одного из них). Признаки.
3. Прямоугольник. Определение. Свойства. Док-во особого свойства. Квадрат.
4. Ромб. Определение. Свойства. Док-во особого свойства.
5. Трапеция. Определение. Виды. Свойства равнобедренной трапеции. (док-во одного из них)
6. Понятие площади. Свойства площади. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольного треугольника (док-во)
7. Площадь параллелограмма (док-во)
8. Площадь треугольника (док-во)
9. Площадь ромба (док-во)
10. Площадь трапеции (док-во)
11. Теорема Пифагора (док-во). Теорема, обратная теореме Пифагора.
12. Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. Признаки подобия треугольников.
13. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (док-во одной из теорем)
14. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Определения. Основные тригонометрические формулы (док-во каждой формулы)
15. Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30°, 45°, 60°. Док-во каждого значения.
16. Окружность и ее элементы. Определения. Взаимное расположение прямой и окружности.
17. Касательная к окружности. Определение. Теорема (док-во)
18. Градусная мера дуги окружности. Центральный угол. Вписанный угол – определение, теорема (док-во)
19. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. (док-во обеих теорем). Четыре замечательные точки треугольника. Теорема о пересечении медиан треугольника
20. Вписанная окружность. Определение. Окружность, вписанная в треугольник. Окружность, вписанная в четырехугольник.
21. Описанная окружность. Определение. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, описанная около четырехугольника.
Блок 2. Задачи базового уровня.
1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ: 122
2. ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах. Ответ: 135
3. Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k. Ответ: 160
4. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ: 105
5. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12. Ответ: 52
6. Площадь равнобедренного треугольника равна Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны. Ответ: 28
7. Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.
Ответ: 3
8. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
9. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах. Ответ: 110
10. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен 
Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15. Ответ: 33
11. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание. Ответ: 16
12. Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найдите длину диагонали трапеции. Ответ: 85
13. Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. Ответ: 49;131;131
14. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8, sin A = 0,4. Найдите AB. Ответ: 20
15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC. Ответ: 10
16. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. Ответ: 33,6
17. Катеты прямоугольного треугольника равны 
и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. Ответ: 0,25
18. Площадь прямоугольного треугольника равна 
Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы. Ответ: 16
19. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24. Ответ: 12
20. В треугольнике АВС 
, угол равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Ответ: 20
21. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 60, а отношение соседних сторон равно 4:11. Ответ: 176
22. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED. Ответ: 13
23. В прямоугольнике одна сторона равна 96, а диагональ равна 100. Найдите площадь прямоугольника. Ответ: 2688
24. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100. Ответ: 1344
25. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника. Ответ: 1225
26. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на 
. Ответ: 25
27. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на 
Ответ: 25
28. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника. Ответ: 480
29. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника. Ответ: 2160
30. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Ответ: 168
31. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции. Ответ: 60
32. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен 
. Найдите площадь трапеции. Ответ: 30
33. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них. Ответ: 5
34. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9. Ответ: 15
35. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции. Ответ: 88
36. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.
Ответ: 24
37. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 45°. Найдите площадь параллелограмма, делённую на 
. Ответ: 30
38. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма. Ответ: 1305
39. Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 8. Найдите площадь ромба. Ответ: 156
40. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см. Ответ: 6
41. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см. Ответ: 5
42. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30, BC = 
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 17,5
43. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности. Ответ: 90
44. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. Ответ: 7
45. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности. Ответ: 40
46. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. Ответ: 36
