Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении Е´Е, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:
1 ) f(x, y) = f(y, x)
2) f(x, y) + f(y, x) ³ f(x, y)
3 ) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.
Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.
Определение. Число r(x, y), где х ÎЕ и у Î Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками.
Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: r(x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: r(x, y) £ r} – замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.
Например, для трехмерного евклидова пространства R3 метрика определяется как 
, где х(х1, х2, x3) Î R3 и y(y1, y2, y3) Î R3.
Открытые и замкнутые множества.
Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки rÎU.
Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто.
Отметим следующие свойства:
1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.
2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.
4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Определение. Если А – любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.
Определение. Множество 
называется замыканием множества А. Множество FrA = 
CA называется границей множества А.
Непрерывные отображения.
Пусть Е и F – топологические пространства, и пусть f – отображение пространства Е в F.
f: E ® F.
Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве Е, отображаются в точки, близкие друг к другу в множестве F.
Определение. Отображение f: E ® F называется непрерывным в точке р, если для любой окрестности V точки f(p) в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве Е, что f(U) Ì V. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства Е.
Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение.
Определение. Если f – взаимно однозначное отображение пространства Е в F, то существует обратное отображение g пространства F в E. Если и f и g непрерывны, то отображение f называется гомеоморфизмом, а пространства Е и F – гомеоморфные.
Гомеоморфизм между множествами устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностями, закрытыми и открытыми подмножествами этих множеств.