Задачей дисперсионного анализа взаимосвязи является измерение силы влияния определенного одного факторного признака на некоторый результативный признак. Анализ осуществляется на основе предварительной аналитической группировки (глава 3, п. 3.3) посредством вычисления трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.
Общая дисперсия 
измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака хi всей совокупности от общей средней 
.
Внутригрупповая (частная) дисперсия 
отражает часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака хi внутри группы от средней арифметической, вычисленной только по этой группе (групповой средней) 
.
Межгрупповая дисперсия 
характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних 
от общей средней 
:
(8.2.1)
На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:
(8.2.2)
Общая, межгрупповая и средняя из внутригрупповых дисперсии взаимосвязаны правилом сложения дисперсий:
(8.2.3)
Используя это правило легко определить, какая доля общей вариации результативного признака обусловлена влиянием признака-фактора положенного в основание группировки, и тем самым определить силу влияния этого фактора на результативный признак.
Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного (факторного) признака на изучаемый (результативный) признак.
Эмпирический коэффициент детерминации 
– показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации результативного признака:
(8.2.4)
При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет ( = 0). Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.
При функциональной связи эмпирический коэффициент детерминации равен единице, в этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии 
, т.е. внутригрупповой вариации не будет (
= 0). Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.
Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:
, (8.2.5)
этот показатель является критерием тесноты связи между группировочным и результативным признаками.
Эмпирическое корреляционное отношение 
, как и коэффициент детерминации 
, может принимать значения от 0 до 1. Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чеддока:
| 0,1 – 0,3 | 0,3 – 0,5 | 0,5 – 0,7 | 0,7 – 0,9 | 0,9 – 0,99 |
| Сила связи | слабая | умеренная | заметная | тесная | весьма тесная |
Например, по данным таблицы 6 определим силу влияния квалификации работников на их производительность труда (среднечасовую выработку).
Таблица 6
Распределение рабочих по среднечасовой выработке изделий
| № п/п | Рабочие IV разряда | № п/п | Рабочие V разряда | ||||
| Выработка рабочего, шт., хi |
|
| Выработка рабочего, шт., хi |
|
| ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| – 3 – 1 – 1 | – 1 – 1 – 2 | ||||||
| – |
| – |
1). Для расчета групповых дисперсий исчислим средние выработки по каждой группе и общую среднюю выработку, шт.:
· по первой группе 
;
· по второй группе 
;
· по двум группам 
.
Данные для расчета дисперсий по группам представлены в столбцах 4 и 8 таблицы 6, используя эти данные, получим внутригрупповые дисперсии:
· по первой группе 
;
· по второй группе 
.
Внутригрупповые дисперсии показывают вариацию выработки в каждой группе, вызванную всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме различий в квалификационном разряде, т.к. внутри группы все рабочие имеют одну квалификацию.
2). Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:
Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих, но в среднем по всей совокупности.
3). Исчислим межгрупповую дисперсию:
Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду.
4). Исчислим общую дисперсию:
Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию среднечасовой выработки изделий всеми рабочими цеха.
5). Используем правило сложения дисперсий для характеристики силы взаимосвязи:
Очевидно, что доля влияния квалификации работников в общей вариации значительна: 6 из 9. Для более точной оценки рассчитаем эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение:
или 66,7%
Таким образом, на 66,7% вариация производительности труда рабочих обусловлена различиями в их квалификации и на 33,3% – влиянием прочих факторов.
Согласно соотношениям Чеддока, взаимосвязь между квалификацией рабочих и производительностью их труда нужно характеризовать как тесную.