МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет)
ЭКОНОМИКО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Отчет по дисциплине
«Эконометрика»
Выполнил:студент гр. У10-14у Гирич А.В.
Проверил: профессор Седелев Б.В.
Москва
2012 г.
Временные ряды
Свойства Гаусса:
1. mδt=0;
2. σδ2=const;
3. r1=0.
Если эти свойства выполняются, то ошибку измерения можно считать белым шумом.
Теорема Гаусса-Маркова:
Если в линейной по параметрам регрессии факторы неслучайны и линейно независимы, а ошибка наблюдений – белый шум, то метод наименьших квадратов (МНК) позволяет получить несмещенные и эффективные оценки параметров в данной регрессии.
Несмещенность означает, что математическое ожидание полученных оценок совпадает с их истинным значениям.
Эффективность означает, что полученные случайные оценки имеют минимальную дисперсию.
Данную теорию обработки данных, т.е. выделения собственно значения показателя от скрадывающих его ошибок измерения Гаусс вывел для физических измерений.
На прямую теория ошибок наблюдения Гаусса не может применяться для экономических временных рядов по следующим причинам:
1. В экономике нет знаний как об истинном законе изменения показателей экономических процессов, так и об ошибках наблюдения.
2. Ряды наблюдений должны быть короткими. Чем ряд короче, тем он однороднее.
В Западной эконометрике в качестве аппроксимационных могут использоваться любые функции. Но экономические временные ряды как объект анализа обладают следующим замечательным свойством — у них нет преимущественного (естественного) начала отсчета времени. Именно по этой причине их изучение правомерно проводить в любой шкале времени t = to + 1,..., to + N и руководствоваться единственно соображениями удобства, решая, чему положить to — нулю (что обычно и делается) или какому-либо другому числу. По этой причине для аппроксимации экономических временных рядов подходят только инвариантные по сдвигу аргумента функции.
Только три класса функций обладают этим свойством:
· Степенные полиномы
· Линейные комбинации показательных функций
· Линейные комбинации синуса и косинуса одинаковых частот
Любые линейные комбинации инвариантных функций также являются инвариантными функциями.
Рассмотрим следующие три примера
1.
| t | X(t) | 
| t | X(t) |
|
| 0.68 | 1.233 | ||||
| 3.29 | 3.45 | ||||
| 5.33 | 4.974 | ||||
| 7.05 | 6.71 | ||||
| 8.55 | 8.387 | ||||
| 9.91 | 9.995 | ||||
| 11.16 | 11.546 | ||||
| 15.44 |
2.
| t | X(t) |
| t | X(t) |
|
| 6,289346 | 3,742772 | ||||
| 6,414648 | 4,420905 | ||||
| 6,487945 | 4,817587 | ||||
| 6,53995 | 5,099038 | ||||
| 6,580288 | 5,317348 | ||||
| 6,613247 | 5,49572 | ||||
| 6,641113 | 5,646531 | ||||
| 
|
3.
| t | X(t) |
| t | X(t) |
|
| 1.43 | 1.43 | ||||
| 3.14 | 3.14 | ||||
| 4.86 | 4.85 | ||||
| 6.57 | 6.57 | ||||
| 8.28 | 8.28 | ||||
| 10.00 | 10.00 | ||||
| 11.71 | 11.71 | ||||
| 18.57 | 18.57 |
Вывод: только в последнем примере результаты остались прежними при вычислении на другом интервале времени, то есть примеры наглядно демонстрируют, что неинвариантные по сдвигу аргумента функции приводят к разным результатам в зависимости от выбранного начала отчета.
Компромисс точность-надежность в построении экономических регрессионных моделей временных рядов наблюдений
Показатели точности и надежности, как правило, находятся в противофазе. По компромиссу точность-надежность выбирается та экономическая регрессионная модель, которая является наиболее точной из допустимых по надежности старших коэффициентов модели.
Экономический временной ряд – дискретная последовательность значений экономического показателя, полученная в предположении постоянства условий наблюдения.
Показатель надежность по главному члену в полиноме является наиболее важным.
Условия белого шума:
1. График зависимости невязок от времени должен иметь приличное число пересечений с ось времени и не обладать трендом;
2. Графическое представление поля автокорреляций не должно иметь тенденции к автокорреляции;
3. Отсутствие автокорреляции. Коэффициент автокорреляции r1 должен быть мене 0.3 (0.5 – для грубой оценки).
Следующий пример наглядно продемонстрирует использование теоремы Гаусса-Маркова применительно к экономическим временным рядам и компромисса точность-надежность для выбора наилучшей модели.
Пример 4
Рассмотрим ряд капитальных вложений X(t), t=1, 2, 3…20. В качестве аппроксимационной функции будем использовать степенной полином.
| t | X(t) | P1(t) | δ1(t) | P2(t) | δ2(t) | P3(t) | δ3(t) | P4(t) | δ4(t) |
| 10,8 | 6,90 | 3,90 | 10,32 | 0,48 | 9,85 | 0,95 | 9,85 | 0,95 | |
| 12,1 | 9,55 | 2,55 | 11,89 | 0,21 | 11,72 | 0,38 | 11,71 | 0,39 | |
| 12,7 | 12,20 | 0,50 | 13,58 | -0,88 | 13,62 | -0,92 | 13,61 | -0,91 | |
| 15,0 | 14,86 | 0,14 | 15,40 | -0,40 | 15,58 | -0,58 | 15,55 | -0,55 | |
| 16,5 | 17,51 | -1,01 | 17,33 | -0,83 | 17,59 | -1,09 | 17,53 | -1,03 | |
| 19,1 | 20,16 | -1,06 | 19,38 | -0,28 | 19,67 | -0,57 | 19,58 | -0,48 | |
| 21,6 | 22,82 | -1,22 | 21,56 | 0,04 | 21,82 | -0,22 | 21,70 | -0,10 | |
| 24,5 | 25,47 | -0,97 | 23,85 | 0,65 | 24,06 | 0,44 | 23,89 | 0,61 | |
| 27,4 | 28,12 | -0,72 | 26,26 | 1,14 | 26,40 | 1,00 | 26,16 | 1,24 | |
| 30,8 | 30,78 | 0,02 | 28,80 | 2,00 | 28,84 | 1,96 | 28,53 | 2,27 | |
| 31,9 | 33,43 | -1,53 | 31,45 | 0,45 | 31,40 | 0,50 | 30,99 | 0,91 | |
| 34,0 | 36,09 | -2,09 | 34,22 | -0,22 | 34,09 | -0,09 | 33,57 | 0,43 | |
| 36,1 | 38,74 | -2,64 | 37,12 | -1,02 | 36,90 | -0,80 | 36,27 | -0,17 | |
| 39,4 | 41,39 | -1,99 | 40,13 | -0,73 | 39,87 | -0,47 | 39,09 | 0,31 | |
| 42,7 | 44,05 | -1,35 | 43,27 | -0,57 | 42,98 | -0,28 | 42,05 | 0,65 | |
| 45,8 | 46,70 | -0,90 | 46,52 | -0,72 | 46,26 | -0,46 | 45,15 | 0,65 | |
| 49,8 | 49,35 | 0,45 | 49,89 | -0,09 | 49,71 | 0,09 | 48,40 | 1,40 | |
| 53,6 | 52,01 | 1,59 | 53,39 | 0,21 | 53,35 | 0,25 | 51,81 | 1,79 | |
| 55,8 | 54,66 | 1,14 | 57,00 | -1,20 | 57,17 | -1,37 | 55,39 | 0,41 | |
| 62,5 | 57,31 | 5,19 | 60,74 | 1,76 | 61,20 | 1,30 | 59,14 | 3,36 |
l=1
Анализ невязок
а) График зависимости невязок от времени
Малое число пересечений, наблюдается тренд.
б) Построение поля автокорреляции
В среднем, т.е. с разбросом имеется тенденция к возрастанию – положительная автокорреляция.
в) Коэффициент автокорреляции
r1(1)=0,724
Полученное значение для коэффициента автокорреляции более 0.5.
Вывод: Вряд ли ошибки теории представляют собой белый шум.
Точность: S2(1)=3,915
l=2
Анализ невязок
а) График зависимости невязок от времени
График можно охарактеризовать отсутствием явного тренда и приличным числом пересечений с ось времени.
б) Построение поля автокорреляций
Основная совокупность точек сосредоточена в центральном поле. Тенденции к положительной автокорреляции не наблюдается.
в) Коэффициент автокорреляции
r1(2)=0,312
Полученное значение для коэффициента автокорреляции является допустимым.
Вывод: Получившаяся совокупность невязок может быть рассмотрена как белый шум.
Точность: S2(2)=0,749. По сравнению с l=1, точность улучшилась.
B(2)=0,118
Значение показателя надежности меньше 0.3, что является хорошим результатом.
l=3
Анализ невязок
а) График зависимости невязок от времени.
Явного тренда не наблюдается, число пересечений осталось прежним.
б) Построение поля автокорреляций.
Нет тенденции к автокорреляции.
в) Коэффициент автокорреляции
r1(3)=0,294
Полученное значение для коэффициента автокорреляции является хорошим результатом.
Точность: S2(3)=0,693
Вывод: Получившаяся совокупность невязок может быть рассмотрена как белый шум.
Надежность: B(3)=0,876. Надежность возросла.
l=4
Анализ невязок
а) График зависимости невязок от времени
Количество пересечений с осью времени уменьшилось, наблюдается тренд.
б) Построение поля автокорреляции
Автокорреляции нет
в) Коэффициент автокорреляции
r1(3)= 0,607
Полученное значение для коэффициента автокорреляции оказалось выше допустимого.
Точность: S2(4)=1,459
Надежность: B(4)=3419,196
Сводная таблица показателей точности и надежности:
| l | S2(l) | B(l) |
| 3,915 | - | |
| 0,749 | 0,118 | |
| 0,693 | 0,876 | |
| 1,459 | 3419,196 |
Прогнозирование экономических временных рядов. Алгоритм и точность прогноза
Если предположить, что до момента времени планируемого прогноза сохранятся однородность и условия экономического процесса, то путем экстраполяции можно сделать прогноз.
Пример 5
P2(t)= 8,866+1,392*t+0,060*t2
p=5 – горизонт прогноза
P2(20+5)= 8,866+1,392*(20+5)+0,060*(20+5)2= 81,212
Надежность прогноза: Впр= 0,017
Многофакторные экономические регрессионные модели
В уравнении с распределенными лагами требуется определить веса ai и их количество n. Но это является нелинейной задачей.
Водятся вероятности лагов - wi и средняя доля фондообразующих капитальных вложений в среднем за период - β.
Использование конечных разностей и некоторых переобозначений приводит к линейной регрессии - модели в конечных разностях. Рассмотрим данную модель в Примере 6.
Пример 6
y(t) – вновь введенные производственные фонды
x(t) – брутто
| t | y(t) | x(t) | ∆x(t) | ∆2x(t) | a(t)=∆2x(t)/2 | b(t)=∆x(t)+∆2x(t)/2 |
| 10,81 | 10,80 | − | − | − | − | |
| 10,59 | 12,10 | 1,30 | − | − | − | |
| 11,58 | 12,70 | 0,60 | -0,70 | -0,35 | 0,25 | |
| 13,56 | 15,00 | 2,30 | 1,70 | 0,85 | 3,15 | |
| 14,66 | 16,50 | 1,50 | -0,80 | -0,40 | 1,10 | |
| 16,57 | 19,10 | 2,60 | 1,10 | 0,55 | 3,15 | |
| 18,54 | 21,60 | 2,50 | -0,10 | -0,05 | 2,45 | |
| 23,20 | 24,50 | 2,90 | 0,40 | 0,20 | 3,10 | |
| 24,40 | 27,40 | 2,90 | 0,00 | 0,00 | 2,90 | |
| 27,30 | 30,80 | 3,40 | 0,50 | 0,25 | 3,65 | |
| 28,10 | 31,90 | 1,10 | -2,30 | -1,15 | -0,05 | |
| 31,90 | 34,00 | 2,10 | 1,00 | 0,50 | 2,60 | |
| 35,40 | 36,10 | 2,10 | 0,00 | 0,00 | 2,10 | |
| 37,40 | 39,40 | 3,30 | 1,20 | 0,60 | 3,90 | |
| 39,20 | 42,70 | 3,30 | 0,00 | 0,00 | 3,30 | |
| 41,80 | 45,80 | 3,10 | -0,20 | -0,10 | 3,00 | |
| 45,15 | 49,40 | 3,60 | 0,50 | 0,25 | 3,85 | |
| 46,50 | 53,60 | 4,20 | 0,60 | 0,30 | 4,50 | |
| 50,99 | 55,80 | 2,20 | -2,00 | -1,00 | 1,20 | |
| 58,80 | 62,50 | 6,70 | 4,50 | 2,25 | 8,95 |
МНК дает нам значения:
β=0,975;
υ1’=0,859;
υ2’=2,355.
Вспоминаем про переобозначения:
υ1=0,882 и υ2=2,416
Дисперсия: σ=1,280
q=3,162
n=4,930 (берем n=5)
Рассчитываем вероятности лагов wi и находим доли общих капитальных вложений ai:
| i | wi | ai |
| 0,518 | 0,504 | |
| 0,281 | 0,274 | |
| 0,117 | 0,114 | |
| 0,025 | 0,024 | |
| 0,004 | 0,004 | |
| 0,055 | 0,054 |