Треугольники и их элементы

Окружности и их элементы

1. В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АВ и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

2. Окружности с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. Докажите, что от­рез­ки AB и IJ перпендикулярны.

3. В окруж­но­сти с цен­тром про­ве­де­ны две рав­ные хорды и . На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры и . Докажите, что и равны.

4. В окруж­но­сти через се­ре­ди­ну O хорды AC про­ве­де­на хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

5. Окружности с цен­тра­ми в точ­ках O ₁ и O ₂ не имеют общих точек. Внут­рен­няя общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям делит отрезок, со­еди­ня­ю­щий их центры, в от­но­ше­нии m: n. Докажите, что диа­мет­ры этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как m: n.

6. Окружности с цен­тра­ми в точ­ках и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a: b. Докажите, что диа­мет­ры этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как a: b.

7. Окружности с центрами в точках и пересекаются в точках и , причём точки и лежат по одну сторону от прямой . Докажите, что прямые и перпендикулярны.

Треугольники и их элементы

1. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. Докажите, что тре­уголь­ник АВС — равнобедренный.

2. Высоты AA ₁ и BB ₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Докажите, что углы AA ₁ B ₁ и ABB ₁ равны.

3. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA ₁ и BB ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A ₁ CB ₁ и ACB подобны.

4. В вы­пук­лом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

5. Окружности с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, причём точки E и F лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.

6. Высоты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

7. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что тре­уголь­ник MNK — равносторонний.

8. На стороне треугольника отмечены точки и так, что . Докажите, что если , то .

9. На медиане треугольника отмечена точка . Докажите, что если , то .

10. Докажите, что бис­сек­три­сы углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

11. Два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка имеют общую вершину. Докажите, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки и равны.

12. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну (см. рис.). Докажите, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны.

13. Докажите, что у рав­ных тре­уголь­ни­ков и биссектрисы, проведённые из вер­ши­ны и , равны.

14. В тре­уголь­ни­ке угол равен 36°, — биссектриса. Докажите, что тре­уголь­ник — равнобедренный.

15. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окружности.

16. Окружность ка­са­ет­ся стороны AB тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го ∠ C = 90°, и про­дол­же­ний его сто­рон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен диа­мет­ру этой окружности.

17. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки AЕ и CD тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

18. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что углы АDB и BEC тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

19. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

20. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окружности.

21. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Докажите, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD подобны.

22. До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два тре­уголь­ни­ка, пло­ща­ди ко­то­рых равны между собой.

23. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA ₁ и BB ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A ₁ CB ₁ и ACB подобны.

24. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Докажите, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD подобны.

25. В вы­пук­лом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

26. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом BAC про­ве­де­ны вы­со­ты BB ₁ и CC ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки AB ₁ C ₁ и ABC подобны.

27. В треугольнике на его медиане отмечена точка так, что . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника

28. В остроугольном треугольнике проведены высоты и . Докажите, что углы и равны.