Рассмотрим спиральную пружину, изготовленную из проволоки круглого сечения, растянутую силой 
действующей вдоль ее оси (рис.П1). Шаг пружины будем считать малым по сравнению с ее радиусом.
|
|
|
|
|
Рис.П1. Возникновение крутящего момента проволоки
при растяжении пружины.
Мысленно разрежем проволоку пружины в произвольной точке А. Пусть 
- сила, с которой верхняя часть пружины действует на нижнюю в месте разреза. Для равновесия нижней части пружины необходимо, чтобы силы 
и 
были равны по величине (пружину считаем невесомой). Силы 
и 
образуют пару сил, а момент пары сил не зависит от точки, относительно которой он вычисляется. Относительно точки 
модуль момента этих сил равен
(П1)
Из-за малости шага витков пружины можно считать, что момент 
в точке 
направ-
лен вдоль оси проволоки. Для сохранения рассматриваемой части пружины в равновесии необходимо, чтобы возникало кручение проволоки вокруг ее оси, компенсирующее момент 
Так как растягивающая сила 
действует вдоль оси пружины, величина момента 
не меняется вдоль проволоки. Поэтому кручение проволоки является равномерным.
Установим связь между растяжением пружины 
и полным углом закручивания проволоки 
.
Мысленно разрежем пружину вертикальной плоскостью, проходящей через ее ось (рис.П2, а). Теперь каждый из участков пружины, прилегающих к местам разреза (на рисунке - темные точки), закрутим на малый угол 
(остальные участки пока будем считать недефор-.
|
| а |
| б |
| dx 1 |
|
Рис.П2. Разрез пружины: а - в нерастянутом состоянии;
б - в растянутом состоянии
мированными). Так как на каждый виток пружины приходится по два таких участка (рис.П2, б), то суммарный угол закручивания проволоки будет определяться следующим образом:
, (П2)
где 
- число витков пружины. 
При таком закручивании длина пружины увеличивается на величину
, (П3)
где 
- изменение шага пружины, равное (см. рис.П2, б)
(П4)
Из выражений (П2) - (П4) получим зависимость между удлинением пружины и углом закручивания проволоки:
.
Повторив эти рассуждения для других участков пружины и просуммировав удлинения, найдем, что растяжение 
пружины и полный угол закручивания проволоки 
связаны следующим соотношением:
. (П5)
Определим, как угол закручивания 
связан с растягивающей силой 
Для этого выделим из проволоки цилиндрическую трубку радиусом 
длиной 
и толщиной 
Вырежем из трубки малый элемент, площадь верхней грани которого, определяемая углом 
, равна 
(рис.П3, а).
|
|
|
|
|
|
|
| а |
| б |
Рис.П3. Положение элемента проволоки до закручивания (а)
и после закручивания (б)
Повернем верхнее основание трубки относительно нижнего на малый угол 
. При этом боковые грани элемента, лежащие в сечении трубки, повернутся на малый угол 
(рис.П3, б).
Углы 
и 
малы, поэтому нетрудно найти связь между ними:
(П6)
В результате закручивания трубки элемент будет испытывать деформацию сдвига.
Закон Гука для деформации сдвига 
(где 
- касательное напряжение) можно записать в виде
, (П7)
где 
- касательная сила, возникающая при сдвиге и стремящаяся вернуть элемент в исходное положение; 
- площадь верхней грани элемента; 
- модуль сдвига.
Подставив соотношение (П6) в выражение (П7) и приняв во внимание, что 
, для силы получим:
.
Момент этой силы относительно оси трубки равен
.
Просуммировав моменты касательных сил по верхнему основанию рассматриваемой трубки (т.е. проинтегрировав по углу 
) и по радиусу проволоки (т.е. проинтегрировав по 
), найдем результирующий момент всех касательных сил, действующих в сечении проволоки:
.
При равновесии пружины этот момент равен моменту силы 
, растягивающей пружину, определяемому выражением (П1)
. (П8)
Производная 
представляет собой угол закручивания, приходящийся на единицу длины проволоки. Согласно выражению (П8) величина 
постоянна и, следовательно, равна
(П9)
где 
- длина проволоки; 
- полный угол закручивания проволоки (см. формулу (П5)).
С учетом соотношения (П9) выражение (П8) можно переписать в виде
,
где 
- коэффициент жесткости пружины.
Из последнего уравнения следует выражение (4) для модуля сдвига проволоки, используемое в работе.