Лабораторная работа № 2-9
«Моделирование броуновского движения на ЭВМ»
1. Цель и содержание работы.
Цель работы состоит в ознакомлении с явлением броуновского движения частиц при моделировании этого процесса на ЭВМ. Содержание работы заключается в построении траектории движения броуновских частиц и определении зависимости смешения броуновской частицы от времени; определении диффузии как в случайном блуждании частиц.
Краткая теория работы.
В 1827 году английский ботаник Р.Броун, наблюдая в микроскоп взвесь цветочной пыльцы в воде, заметил, что мельчайшие частицы пыльцы находятся в непрерывном и хаотическом движении. Какова причина этого движения, которое было названо броуновским? Броуновское движение пытались связать с дрожанием опор лабораторного стола, на котором находится микроскоп, с влиянием падающего на частицы света, с неравномерным нагревом жидкости, но все эти объяснения были отвергнуты как необоснованные.
Первую правильную теорию этого явления создал в 1905 году А.Эйнштейн и независимо от него в 1906 году польский физик М.Смолуховский. Основные значения развитой ими теории состоит в том, что она позволила использовать явление броуновского движения для подтверждения молекулярно-кинетической теории, ее основных положений:
1) все тела состоят из атомов и молекул (то есть вещество дискретно);
2) все атомы и молекулы находятся в беспрерывном беспорядочном тепловом движении.
Справедливость этих положений была доказана опытами Ж.Перрена в 1906-1908 годах.
Рассмотрим элементарную теорию броуновского движения частиц. В основе теории лежит допущение о том, что движение молекул совершено случайно и все направления движения равновероятны. Броуновская частица - это макроскопическая частица, но достаточно малая для того, чтобы чувствовать различия в числе ударов молекул на свои «боковые» грани. Беспорядочность и случайность результирующего воздействия молекул на броуновскую частицу приводит к беспорядочному и случайному движению этой броуновской частицы. Рассмотрим положение броуновской частицы через некоторые фиксированные промежутки времени Dt. Обозначим через 
вектор, который характеризует перемещение частицы между (i-1)-м и i-м наблюдениями. По истечении n наблюдений частица окажется вположении с радиусом-вектором 
, причем (рис.1):
(1)
qj
 |
q2 qc
0 q3
Рис.1 Траектория движения броуновской частицы.
Можно провести серию опытов, в каждом из которых броуновская частица будет выходить из одного и того же начала координат 0 и через n шагов приходить в некоторую точку с радиусом вектором . Найдем средний квадрат удаления частицы от начала координат за n шагов в большой серии опытов
(2)
Перепишем сумму в виде
(3)
- средний квадрат смещения частицы на i-м шаге перемещения броуновской частицы. Для достаточно большой серии опытов этот квадрат смещения будет одинаков для каждого шага и равен какой-то положительной величине 
. 
- это средняя величина скалярного произведения вектора 
(перемещение на i-м шаге) на вектор 
(перемещение на j-м шаге) в различных опытах одной серии. Встречаются любые направления и величины векторов и , а их скалярное произведение может принимать одинаково часто как положительное так и отрицательное значения. Следовательно в среднем скалярное произведение 
равна нулю: 
Таким образом средний квадрат удаления равен:
(4)
где Dt - промежуток времени между наблюдениями;
t=n×Dt - общее время наблюдения за n шагов.
Основной вывод из соотношения (4): несмотря на то, что направления перемещения, в которых броуновская частица перемещается при каждом шаге, равновероятны в среднем частица будет удаляться от центра.
Известный физик Р.Фейнман сравнивал броуновское движение частицы с движением пьяного моряка, который выходит из бара и делает несколько шагов, но плохо держится на ногах и каждый шаг делает куда-то в сторону совершенно случайно. В соответствии с формулой (4) скорость его движения с течением времени быстро убывает:
Согласно молекулярно-кинетической теории идеальных газов коэффициент диффузии равен: 
. Скорость 
можно записать как 
. Движение большого числа броуновских частиц аналогично движению молекул идеального газа и следовательно можно считать, что 
. Тогда мы получим для 
следующую формулу:
(5)
Строгая теория дает: 
. То есть скорость роста 
прямо пропорциональна коэффициенту диффузии. Следовательно движение броуновских частиц также как и движение молекул газа при диффузии обусловлено хаотическим тепловым движением молекул.
Экспериментальная часть.
Моделирование движения броуновских частиц на ЭВМ состоит в создании системы координат на экране видеотерминала и случайном распределении по экрану броуновских частиц. При каждом запуске программы положения частиц изменяются. Задача состоит в определении заданного числа броуновских частиц.
Таблица 1
 Хi
n
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Х8 | Х9 | Х10 | Хn | Хn2 | Y1 | Sn2 |
Задание №1 Определить координаты Х для десяти броуновских частиц за 10 шагов. Данные занести в таблицу 1. Для одной выделенной броуновской частицы занести в таблицу координаты Х и Y за эти же 10 шагов.
Задание №2 Построить на графике траекторию движения выделенной броуновской частицы. Сделать вывод о характере ее движения (расстояние Х и Y откладываются в произвольных единицах).
Задание №3 Построить график зависимости 
от t считая, что tºn при Dt=1. Сделать вывод о том, как зависит от t.
Примечание: считается по формуле:
Контрольные вопросы.
1. Что такое броуновское движение?
2. Вывести формулу для зависимости среднего квадрата удаления частицы <х2> от времени t.
3. Предложите метод отделения коэффициента диффузии.