Лабораторная работа № 8
Определение момента инерции
И проверка теоремы Штейнера
Цель работы: экспериментальное определение момента инерции твердого тела с помощью трифилярного подвеса и проверка теоремы Штейнера.
Оборудование: установка, миллиметровая линейка, секундомер.
Продолжительность работы - 4 часа.
Теоретическая часть. Описание установки
Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением
,
где 
- элементарные массы тела; 
- их расстояния от оси вращения.
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментально. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла
, (1)
где 
и 
- масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии 
от интересующей нас оси; 
- плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.
Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Например, для цилиндра или диска можно получить следующую формулу для нахождения величины момента инерции относительно оси симметрии:
, 
(2)
где 
- масса; 
- радиус цилиндра или диска.
Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численными методами.
Экспериментально момент инерции тела можно определить, например, с помощью трифилярного подвеса. Трифилярный подвес (рис.1) представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях. Верхние концы нитей прикреплены к неподвижному диску, диаметр которого меньше диаметра платформы. Если на платформу положить тело и повернуть ее на небольшой угол вокруг оси ОО¢, то платформа начнет совершать крутильные колебания. Период этих колебаний зависит от момента инерции тела и платформы. Определив период, можно рассчитать момент инерции изучаемого тела.
Найдем период малых крутильных колебаний платформы с помещенным на нее телом (тело на рис.1 не изображено). При повороте платформы нити, на которых она подвешена, отклоняются от положения равновесия, при этом возникает момент сил 
относительно оси ОО¢, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия.
Движение платформы вокруг оси ОО ¢ описывается уравнением
(3)
где 
- момент инерции платформы и тела относительно этой оси; 
- их угловое ускорение.
Период колебаний можно рассчитать из уравнения (3), но для этого надо знать зависимость момента сил от угла поворота 
.
При повороте платформы изменяется ее потенциальная энергия, так как центр масс платформы, перемещаясь вдоль оси вращения, поднимается на некоторую высоту 
Модуль момента сил связан с изменением потенциальной энергии П соотношением
, (4)
где - масса платформы с телом.
Таким образом, определение зависимости момента сил от угла сводится к определению зависимости высоты 
от 
На рис.2 платформа и одна из нитей подвеса АВ изображены в положении равновесия
Рис.2. Подъем центра масс платформы на высоту h при ее повороте на угол a
(пунктирная линия) и в положении, когда платформа повернута на угол a(сплошная линия 
). Пусть 
- длина нити; 
и - расстояния от оси вращения до точек крепления нити соответственно на платформе и верхнем диске.
Тогда
.
Поскольку
,
,
,
то
.
При малых колебаниях платформы можно считать, что 
и 
тогда последнее выражение принимает вид:
, (5)
где 
- расстояние между платформой и верхним диском.
Решив совместно уравнения (3) - (5), получим:
Данное уравнение описывает гармонические колебания платформы
период которых равен
.
Таким образом, при известных параметрах установки экспериментально определив период колебаний платформы 
можно рассчитать момент инерции:
. (6)
Напомним, что и - расстояния от оси вращения до точек крепления нитей соответственно на платформе и верхнем диске.
Формула (6) может быть использована для определения величин момента инерции 
пустой платформы (в этом случае - масса платформы) и момента инерции 
платформы с помещенным на нее телом ( - сумма масс платформы и тела). Зная и , можно рассчитать момент инерции тела 
относительно оси вращения платформы:
.
Передвигая тело по платформе, можно проверить теорему Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела 
и параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями 
:
.
В данной работе на платформу помещаются два тела цилиндрической формы массой т 0 каждое, поэтому теорему Штейнера в используемых нами обозначениях можно записать в виде
, (7)
где 
- момент инерции цилиндров относительно оси, проходящей через центр масс.
Экспериментальная часть
Упражнение 1. Определение момента инерции пустой платформы.
С помощью секундомера определите время 50 колебаний пустой платформы. Крутильные колебания сообщаются платформе поворотом верхнего диска при помощи рукоятки, связанной с ним. Этим достигается почти полное отсутствие других типов колебаний (некрутильных).
Рассчитайте период колебаний и, используя формулу (6), определите величину момента инерции пустой платформы . Сравните полученное значение с теоретическим, рассчитанным по формуле (2).
Упражнение 2. Проверка теоремы Штейнера.
Располагая тела на платформе симметрично относительно оси вращения, определите (так же, как и в упражнении 1) момент инерции платформы с разнесенными телами 
Вычитая из полученного значения величину момента инерции пустой платформы 
определите величину момента инерции тел 
относительно оси вращения. Измерения проведите для пяти значений расстояния 
Постройте график зависимости от 
Определите значение углового коэффициента полученной прямой и сравните с теоретическим значением, которое, как следует из (7), должно быть равно массе двух тел - 
Литература
1. Савельев И.В. Курс физики. - М.: Наука, 1989. - Т. 1. - §§ 31 - 33.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2001. - Т. 1. -§§ 5.3, 5.4, 5.6, 8.1, 8.4,8.5.
3. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М.: Физмалит, 2001. - § 6.1, приложение 3. С. 307.