Теоретическая часть. Описание установки

Лабораторная работа № 9

Определение момента инерции плоского

Твердого тела относительно различных осей

Цель работы: экспериментальное определение момента инерции тонкой плоскопараллельной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей с помощью трифилярного подвеса.

Оборудование: установка, миллиметровая линейка, секундомер.

Продолжительность работы - 4 часа.

Теоретическая часть. Описание установки

Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением

, (1)

где - элементарные массы тела; - их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментально. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

, (2)

где и - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии от интересующей нас оси; - плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Например, для плоскопараллельной пластины можно получить следующую формулу для нахождения величины момента инерции относительно оси, перпендикулярной ее плоскости и проходящей через центр масс пластины:

(3)

где - масса; и - длины сторон пластины.

Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численными методами.

Экспериментально момент инерции тела можно определить, например, с помощью трифилярного подвеса. Трифилярный подвес (рис.1) представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях. Верхние концы нитей прикреплены к неподвижному диску, диаметр которого меньше диаметра платформы. Если на платформу положить тело и повернуть ее на небольшой угол вокруг оси ОО¢, то платформа начнет совершать крутильные колебания. Период этих колебаний зависит от момента инерции тела и платформы. Определив период, можно рассчитать момент инерции изучаемого тела.

Найдем период малых крутильных колебаний платформы с помещенным на нее телом (тело на рис.1 не изображено). При повороте платформы нити, на которых она подвешена, отклоняются от положения равновесия, при этом возникает момент сил относительно оси ОО¢, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия.

Движение платформы вокруг оси ОО ¢ описывается уравнением

(4)

где - момент инерции платформы и тела относительно этой оси; - их угловое ускорение.

Период колебаний можно рассчитать из уравнения (4), но для этого

надо знать зависимость момента сил от угла поворота .

При повороте платформы изменяется ее потенциальная энергия, так как центр масс платформы, перемещаясь вдоль оси вращения, поднимается на некоторую высоту Модуль момента сил связан с изменением потенциальной энергии П соотношением

, (5)

где - масса платформы с телом.

Таким образом, определение зависимости момента сил от угла сводится к определению зависимости высоты от На рис.2 платформа и одна из нитей подвеса АВ изображены в положении равновесия

 

 

Рис.2. Подъем центра масс платформы на высоту h при ее повороте на угол a

 

(пунктирная линия) и в положении, когда платформа повернута на угол a(сплошная линия ). Пусть - длина нити; и - расстояния от оси вращения до точек крепления нити соответственно на платформе и верхнем диске.

Тогда

.

Поскольку

,

,

,

то

.

При малых колебаниях платформы можно считать, что и Тогда последнее выражение принимает вид:

, (6)

где - расстояние между платформой и верхним диском.

Решив совместно уравнения (4) - (6), получим:

Данное уравнение описывает гармонические колебания платформы

период которых равен

.

Таким образом, при известных параметрах установки экспериментально определив период колебаний платформы можно рассчитать момент инерции:

. (7)

Напомним, что и - расстояния от оси вращения до точек крепления нитей соответственно на платформе и верхнем диске.

Формула (7) может быть использована для определения величин момента инерции пустой платформы (в этом случае - масса платформы) и момента инерции платформы с помещенным на нее телом ( - сумма масс платформы и тела). Зная и , можно рассчитать момент инерции тела относительно оси вращения платформы:

.

В данной работе определяются моменты инерции тонкой плоскопараллельной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке (рис.3). Если оси X и Y лежат в плоскости пластины, а ось Z перпендикулярна ей, то моменты инерции тонкой пластины относительно этих осей связаны соотношением

. (8)Отметим, что это выражение выполняется для плоского тела любой формы.

Докажем справедливость выражения (8). Если пластина тонкая, то можно считать, что все вещество распределено в плоскости XY, поэтому координаты z всех точек пластины равны нулю. Выделим в пластине материальную точку массой (см. рис.3) с координатами

Моменты инерции этой точки относительно осей X, Y и Z равны соответственно:

, (9)

, (10)

. (11)

Сложим уравнения (9) и (10):

. (12)

Сравнивая правую часть выражения (12) с уравнением (11), получим:

.

Просуммируем правую и левую части этого уравнения по всему объему пластины:

.

Воспользовавшись определением момента инерции тела (1), получим:

,

что и требовалось доказать.

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Определение момента инерции пустой платформы.

С помощью секундомера определите время 50 колебаний пустой платформы. Крутильные колебания сообщаются платформе поворотом верхнего диска при помощи рукоятки, связанной с ним. Этим достигается почти полное отсутствие других типов колебаний (некрутильных).

Рассчитайте период колебаний и, используя формулу (7), определите момент инерции пустой платформы Сравните полученное значение с теоретическим, рассчитанным по формуле

,

где - радиус платформы.

Упражнение 2. Определение момента инерции пластины и проверка соотношения (8).

Располагая пластину на платформе тремя различными способами, определите (так же, как в упражнении 1) моменты инерции пластины с платформой. Вычитая из полученных значений величину момента инерции пустой платформы, рассчитайте моменты инерции пластины и Сравните значение момента инерции пластины с теоретическим значением, рассчитанным по формуле (3).

Проверьте соотношение (8), которое должно выполняться в пределах погрешности.

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. - М.: Наука, 1989. - Т. 1. - §§ 31 - 33.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2001. - Т. 1. - §§ 5.3, 5.4, 5.6, 8.1, 8.4, 8.5.

3. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М.: Физматлит, 2001. - § 6.1.