АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ОДНОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ
Цель работы: изучение основ анализа характеристик цифровых фильтров
Вводная часть
Линейный цифровой фильтр (ЦФ) это устройство, в котором текущий отсчёт выходного сигнала представлен в виде линейной комбинации текущего отсчёта входного сигнала и предыдущих входных и выходных отсчётов. Обработка входных данных линейным ЦФ (без учёта эффектов квантования данных) описывается разностным уравнением
где x(nT) и y(nT) - отсчёты входного и выходного сигналов фильтра соответственно; 
и 
- коэффициенты фильтра; M и N - целые числа, определяющие порядок фильтра; T- период дискретизации входных данных.
К основным характеристикам линейных ЦФ относятся: передаточная (системная) функция в Z - форме; импульсная и переходная характеристики; амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики; точностные характеристики.
Передаточной функцией H(z) фильтра называют отношение Z - образа выходного сигнала Y(z) к Z - образу входного сигнала фильтра X(z) при нулевых начальных условиях, т.е. при y(-T) = y(-2T) =... = y(-NT) = 0 и, кроме того, x(nT) = 0 при n < 0:
Импульсная и переходная характеристики
Импульсной характеристикой (ИХ) линейного ЦФ называется реакция (выходной отклик) фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие в виде единичного импульса
Используя выражение для передаточной функции H(z), полагая x(nT) = d(nT), и учитывая, что Z{d(nT)} = 1, получаем Z{h(nT)} = H(z). Таким образом, передаточная функция фильтра и его импульсная характеристика связаны однозначно через Z - преобразование.
Зная импульсную характеристику h(nT) и входной сигнал х(nT), можно получить выходной сигнал фильтра y(nT) в виде дискретной свёртки
Переходной характеристикой (ПХ) линейного ЦФ называется реакция (выходной отклик) фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции
Дискретные сигналы единичный импульс d(nT) и единичная ступенчатая функция U(nT) связаны соотношениями
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики
Комплексная частотная характеристика (КЧХ) фильтра представляет собой результат подстановки 
в передаточную функцию H(z).
Функция 
имеет следующий физический смысл. Если на вход фильтра подан комплексный гармонический сигнал 
то выходной сигнал фильтра в установившемся режиме (при n ® ¥) имеет вид 
Модуль комплексной частотной характеристики называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра 
а её аргумент - фазочастотной характеристикой (ФЧХ)
Функция arg(z) определяется следующим образом (z - комплексное число): 
То есть функция arg(z) изменяется в пределах 
Таким образом, если на вход фильтра подан дискретный гармонический сигнал в виде синусоиды - 
то АЧХ определяет её амплитуду, а ФЧХ - фазу синусоидального сигнала на выходе фильтра. Поскольку 
периодическая функция с периодом по частоте 
то и функции 
имеют тот же период повторения. Частотная характеристика фильтра, как правило, задаётся на интервале 
Определим еще одну характеристику цифрового фильтра - групповое время запаздывания 
Предпочтительна приблизительно постоянная характеристика группового времени запаздывания во всей полосе пропускания фильтра.