ЛЕКЦИЯ 4.
Случайные погрешности измерений и способы их описания.
При выполнении повторных измерений одной и той же величины легко убедиться, что результаты отдельных измерений отличаются друг от друга. Это объясняется действием случайных погрешностей. Случайные погрешности вызываются большим числом причин, действующих независимо друг от друга. Их нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат измерения можно оценить, проведя ряд наблюдений одной и той же величины. Результат измерения всегда содержит как систематическую DС, так и случайную погрешности, т.е. 
, поэтому погрешность результата измерения в общем случае нужно рассматривать как случайную величину. Тогда систематическая погрешность есть математическое ожидание этой величины, а случайная погрешность – центрированная случайная величина. Со статистических позиций можно дать следующие определения составляющих погрешности.
Систематическая погрешность 
– отклонение математического ожидания mx результатов наблюдений от истинного значения А измеряемой величины:
.
Случайная погрешность 
- разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов:
.
Математическое ожидание погрешности равно математическому ожиданию систематической составляющей погрешности, так как математическое ожидание случайной погрешности всегда равно нулю:
.
Законы распределения случайных величин
Полным описанием случайной величины, а, следовательно, и погрешности является ее закон распределения. Этим законом распределения и определяется характер появления различных результатов отдельных измерений в ряду наблюдений.
В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Это равномерное (прямоугольное) распределение, нормальное распределение Гаусса, распределение c2 (хи-квадрат), распределение t -Стьюдента и др. Одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей является нормальный закон (Гаусса), который базируется на центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой нормальное распределение плотности вероятности имеет сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями. Применительно к измерениям это означает, что нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений и ни одно из которых не является преобладающим. Практически, суммарное воздействие даже сравнительно небольшого числа возмущений приводит к закону распределения результатов и погрешностей измерений, близкому к нормальному. Закон нормального распределения имеет фундаментальное значение для теории обработки результатов измерений. Он позволяет вести расчеты даже тогда, когда действительный закон неизвестен.
Математически нормальное распределение случайных погрешностей может быть представлено формулой
,
где p() – плотность вероятности случайной погрешности ; s - среднее квадратическое отклонение.
Характер кривых, описываемых этим уравнением для двух значений s (
), показан на рис.4.1.
Из этих кривых видно, что чем меньше s, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения. Кривые симметричны относительно оси ординат, так как положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто.
Основные характеристики законов распределения.
Основными характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание ряда наблюдений есть величина, относительно которой рассеиваются результаты отдельных измерений. Если систематическая погрешность отсутствует, и разброс результатов отдельных измерений обусловлен только случайной погрешностью, то математическим ожиданием такого ряда наблюдений будет истинное значение измеряемой величины. Если же результаты отдельных измерений кроме случайной погрешности содержат постоянную систематическую погрешность, то математическое ожидание ряда наблюдений будет смещено от истинного значения измеряемой величины на значение систематической погрешности.
ДисперсияD ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако, дисперсия выражается в единицах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве характеристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение результата наблюдения (СКО) s, равное корню квадратному из дисперсии с положительным знаком и выражаемое в единицах измеряемой величины. Среднее квадратическое отклонение, отнесенное к значению измеряемой величины, может быть выражено в относительных единицах или процентах.