А. Эйнштейн
Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс). Следующий этап развития связан с именем Я. Бернулли. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана А. Муавру, П. Лапласу, К. Гауссу, С. Пуассону и др. Наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева и его учеников A. A. Маркова и А. М. Ляпунова, последующее развитие – с именами С. Н. Бернштейна, А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова, В. И. Романовского, Н. И. Смирнова, Б. В. Гнеденко и др.
Концепция детерминированного подхода к явлениям окружающего мира долгое время преобладала как в организации научных исследований, так и в представлении их результатов. В основе этой концепции распространенное механистическое представление о том, что при сохранении неизменными внешних условий, повторении некоторых определенных действий неизбежно можно прийти к прежнему результату. Эксперимент называется детерминированным, если его повторение не приводит к новым результатам. В противном случае, когда повторение эксперимента может привести к другому результату, эксперимент называется случайным. Такое название связано с тем, что типичными экспериментами, в которых имеет место указанное явление (повторные действия могут давать разные результаты), являются эксперименты, заключающиеся в подбрасывании монеты или игрального кубика, раздачи колоды карт и т. п. В каждом из них мы сталкиваемся с неоднозначностью результата эксперимента. Так, монета может упасть вверх «гербом» или «решкой», а кубик – любой из шести граней, причем невозможно заранее предугадать, что конкретно произойдет при данном подбрасывании. Поэтому говорят, что результат зависит от случая, отсюда и название эксперимента.
Задача теории вероятностей заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам, как «случайность», «событие», «вероятность», «правдоподобный» и т. п., позволяет оценить шансы не появление различных результатов, возможных в данном случайном эксперименте.
Конечно, надо отдавать себе отчет в том, что, как всякая модель, и вероятностная модель тоже, является некоторой идеализацией описываемого эксперимента – она не предназначена для воспроизведения всех деталей, а воплощает лишь основные черты явления. В частности, при подбрасывании монеты мы предполагаем, что результатом эксперимента не может быть пропажа монеты или приземление ее на ребро. Кроме того, чрезвычайно важным в теории вероятностей является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента. Если такой возможности нет, то построение вероятностной модели не имеет смысла. Можно сказать, что конкретная информация о самых разных ситуациях, которые могут возникнуть в данном случайном эксперименте, содержащаяся в вероятностной модели, «разворачивается» лишь при многократном повторении этого эксперимента. Так, мы можем утверждать, что если подбросим «правильную» монету 1000 раз, то число выпадений герба будет мало отличаться от 500.
Событие и вероятность: основные понятия, определение вероятности
Понятие о случайном событии
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков – от одного до шести).
Результат (исход) испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или выпадение цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.
Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т. д.
При построении теории события идеализируются, т. е. игнорируются ситуации, несущественные для данного явления.
Пример. При бросании монеты может выпасть герб или решка (обратная сторона). Таким образом, при однократном испытании возможны два события: А – выпадение герба, В – выпадение решки.
Однако возможно еще одно событие С – когда монета станет на ребро. Но при организации игры в «орлянку» это обстоятельство несущественно (монета перебрасывается) и в нашем идеализированном опыте это событие не учитывается.
Определение. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А – появление трех очков (появление четырех очков), событие В– появление нечетного числа очков (появление четного числа очков). События А и Всовместимые.
Определение. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А– выпадение герба, событие В– выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.
Или, например, при одном бросании кости появление не менее трех очков и при этом появление четной грани – события совместные, а появление цифры 3 и при этом появление четной грани – события несовместные.
Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.
Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события А1, А2, А3, А4, А5, А6 – соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.
Определение. Два события А и Вназываются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Событие, противоположное событию А,обозначают через ØА.
Пример. Испытание: бросание монеты. Событие А – выпадение герба, событие В – выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А=ØВ или ØА=В.
Определение. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Например, получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.
Пример. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А– вынут белый шар – достоверное событие; событие В – вынут черный шар – невозможное событие.
Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.
Достоверное событие не может не произойти (например, выпадение не менее одного очка при бросании кости); невозможное событие не может произойти (например, выпадение семи очков).
Определение. Событие Аназывается случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Пример. Событие А2– выпадение двух очков при бросании игральной кости – случайное. Оно может наступить, но оно может и не наступить в данном испытании.
Ответ на вопрос, считать ли данное событие случайным, зависит от имеющейся информации. Например, появление поезда на станции в промежутке времени от 18.00 до 18.10 – событие случайное с точки зрения пассажира, не знающего расписания, и неслучайное для пассажира, знающего расписание. В опыте с бросанием монеты, если знать с достаточной точностью массу, начальные координаты и скорость монеты, можно (в принципе) рассчитать ее траекторию и, следовательно, предсказать, которой из двух сторон она упадет на стол.
Упражнения для фронтального опроса:
1. Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
1.1. черепаха научится говорить,
1.2. вода в чайнике, стоящем на плите, закипит,
1.3. ваш день рождения – 19 октября,
1.4. день рождения вашего друга – 30 февраля,
1.5. вы выиграете, участвуя в лотерее,
1.6. вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее,
1.7. вы проиграете партию в шахматы,
1.8. вы завтра встретите инопланетянина,
1.9. на следующей неделе испортится погода,
1.10. сегодня – четверг,
1.11. после пятницы будет четверг,
1.12. вы нажали на звонок, а он не зазвонил,
1.13. после четверга будет пятница.
2. Используя выражения «более вероятное», «менее вероятное», «равновероятные события», сравните возможность наступления случайных событий А и В:
2.1. Вы просыпаетесь утром. А – это будний день, В – это выходной.
2.2. Вы подбрасываете игральный кубик А – выпадает 6, В – выпадает не 6.
Алгебра событий.
Определение. Суммой событий А и В называется событие С = А + В,состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
Аналогично суммой конечного числа событий А1, А2,…,Ak– называется событие
А =А1 +А2 +... +Ak, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Ai (i = 1, 2,..., k).
Из определения непосредственно следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А, как в алгебре).
Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по выстрелу). Событие А – попадание в мишень первым стрелком, событие В – попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и Вбудет событие С =А + В,состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.
Пример 2. Пусть событие А есть выигрыш в лотерее I, а событие В – выигрыш в лотерее II. Тогда событие С = А + В есть выигрыш хотя бы водной лотерее (возможно в двух сразу!).
Определение. Произведением событий А и Вназывается событие С = AB,состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2,…,Akназывается событие А = А1А2…Ak, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
Из определения непосредственно следует, что AВ = ВА.Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не А2).
Пример 3. В условиях примера 1 произведением событий А и В будет событие С = AB, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.
Пример 4. Пусть события А и В есть успешные прохождения соответственно туров I и II при поступлении в университет. Тогда событие С = А ∙ В представляет собой успешное прохождение обоих туров.
Замечание 1. Сумма противоположных событий есть событие достоверное.
Замечание 2. Произведение противоположных событий есть событие невозможное.