НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ

Лекция 10

Рассматривается система, состоящая из одного основного и (n - 1) резервных элементов.

При условии, что отказы элементов независимы, отказ системы происходит только при отказе всех n элементов.

 

Структура системы

 

 

Случайная наработка до отказа:

 

 

(система работоспособна до тех пор, пока работоспособен хотя бы один элемент).

Поскольку отказ системы есть событие, которое заключается в одновременном появлении событий – отказах всех элементов, то

• вероятность отказа (ВО):

 

• вероятность безотказной работы (ВБР):

 

• математическое ожидание (МО) наработки до отказа:

 

При идентичных элементах системы, т. е. P₁(t) = … = P_n(t)

 

• ВБР:

 

• ВО:

 

• МО наработки до отказа:

 

Для системы с экспоненциальной наработкой до отказа каждого из n элементов:

 

P_i(t) = exp(- _i t),

 

где _i = const показатели безотказности:

 

 

Таким образом, при нагруженном резервировании экспоненциальное распределение наработки до отказа не сохраняется.

При идентичных n элементах системы МО наработки до отказа:

 

 

При большом n (n ), T_0с 1/ ·(ln n + c), где c = 0.577….

При неидентичных элементах:

 

Для системы с n идентичными элементами P₁(t) = … = Pn(t) решаются задачи оптимизации (в различных постановках).

1. Определение числа n элементов системы, при котором вероятность отказа (ВО) системы Qс(t) не будет превосходить заданной Qс.

Поскольку Qс(t) = Q_iⁿ(t), то условие задачи

 

Q_iⁿ(t) Qс(t).

 

Из приведенного неравенства определяется минимально необходимое число элементов:

 

 

2. Определение надежности n элементов системы из условия, чтобы ВО не превышала заданную Qс.

Из условия Q_iⁿ(t) Qс(t), находим ВО I и ВБР P_i(t) 1 - Q_i(t).

 

Надежность систем с ограничением по нагрузке

 

Для некоторых систем условия работы таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы по меньшей мере r элементов из n были работоспособны.

Т. е. число необходимых рабочих элементов – r, резервных – (n - r).

Отказ системы наступает при условии отказа (n – r + 1) элементов.

Если при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа, то отказы можно считать независимыми.

ВБР такой системы определяется с помощью биномиального распределения.

Для системы, сохраняющей работоспособность при функционировании r из n элементов, ВБР определяется как сумма r, (r + 1), …, (n – r) элементов:

 

 

где

Для идентичных элементов с экспоненциальной наработкой P_i(t) = exp(- _i t), _i = const ( ₁ = … = _i = … = _n) ВБР:

 

 

Зависимость надежности системы от кратности резервирования

 

При целой кратности k (r = 1, n = k + 1) для системы с идентичными элементами и экспоненциальной наработкой до отказа:

• ВБР системы:

 

P_с(t) = 1 – (1 - exp(- t))^k+1;

 

• ПРО системы:

 

f_с(t) = - dP_с(t)/ dt = (k + 1) (1 - exp(- t))^k exp(- t);

 

• ИО системы:

 

Полагая элементы системы высоконадежными, т. е. t << 1 (P(t) 1 - t), получены упрощенные выражения:

 

• ВБР системы:

P_с(t) 1 – ( t))^k+1;

• ПРО системы:

f_с(t) (k + 1) ^k+1 t^k;

• ИО системы:

 

но поскольку t << 1, то ( t)^k+1 0, поэтому ИО системы:

 

_с (t) (k + 1) ^k+1 t^k = n · ⁿ · t^n-1,

 

где n = k + 1.

Полученное выражение _с (t) свидетельствует о том, что при = const элементов, ИО системы зависит от наработки, т. е. распределение наработки до отказа системы не подчиняется экспоненциальному распределению.

На рис. 1 приведены зависимости изменения P_с( t) и _с / ( t) из которых следует, что:

 

• увеличение кратности резервирования k повышает надежность (P_с возрастает, _с / 0);
• резервирование наиболее эффективно на начальном участке работы системы (при t T₀), т. е.

 

Рис. 1

 

Из графика _с / ( t) видно, что при t = (3 4)T₀ = (3 4) 1/ , _с приближается к .

Поскольку средняя наработка до отказа системы при идентичных элементах ( = const):

 

 

то выигрыш в средней наработке T_0с снижается по мере увеличения кратности резервирования.

Например,

при k = 1

 

T_0с = T₀ ·(1 + 1/2) = 3/2T₀

(увеличение T_0с на 50%);

при k = 2

T_0с= T₀ ·(1 + 1/2 + 1/3) = 11/6T₀

(увеличение T_0с на 83%);

при k = 3

T_0с= 25/12T₀

(увеличение T_0сна 108%).

Таким образом, динамика роста T_0с составляет: 50, 33 и 25%, т. е. уменьшается.

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются системы с нагруженным резервированием с целой и дробной кратностью? Привести расчетные выражения показателей безотказности?
2. Какой закон распределения наработки до отказа будет у системы с нагруженным резервированием, если законы распределения наработки до отказа составляющих ее элементов – экспоненциальные?
3. Какие задачи оптимизации решаются и в чем они состоят для систем с нагруженным резервом?
4. Как определяется вероятность безотказной работы системы с нагруженным резервированием и дробной кратностью?
5. При каких условиях наиболее эффективно применение нагруженного резервирования?