Конспект занятия
Практически каждый день мы ходим в магазин, учимся рационально использовать имеющиеся денежные средства, высчитываем стоимость товара с применением акционной скидки, или просчитываем количество необходимых положительных отметок для повышения итоговой отметки за месяц, и не задумываемся над тем, что каждый раз составляем и решаем различные уравнения.
Когда мы определяем успеваемость каждого студента, количество полученных отметок, или как часто тот или иной студент дежурил в кабинете, мы решаем неравенства (сравнивая, используя слова «больше» и «меньше»).
Ребята, мы начинаем изучать раздел, который называется «Уравнения и неравенства». Тема для вас не новая. Поэтому целью нашего сегодняшнего и последующих занятий является конкретизация знаний обучающихся по теме «Равносильность уравнений», обобщение и закрепление знаний по теме «Уравнения и неравенства», выявление пробелов в знаниях у обучающихся по указанным темам.
Сегодня мы должны определить понятие «уравнение», «равносильность уравнений», обозначить простейшие способы преобразования уравнений, обеспечивающие равносильные переходы между уравнениями.
Объяснение нового материала.
Так что же такое «Уравнение»? Давайте запишем:
Уравнением с одной переменной x называется выражение
f(x)=g(x) (1)
содержащее переменную величину x и знак равенства.
А сколько переменных может быть в уравнении?
На самом деле много, в пределах 4-5 переменных их как правило обозначают разными малыми буквами латинского алфавита, но иногда, для обозначения нескольких переменных, (>2) используют индексы (х1,х2, х3 и т.д.)
Среди видов уравнений различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.
К алгебраическим уравнениям относятся:
- линейное уравнение ax + b = 0.
- квадратное уравнение - ax2 + bx + c = 0.
- кубическое уравнение - ax3 + bx2 + cx + d = 0.
- уравнения четвертой степени - ax4 + bx3 + cх2 + dx + e = 0.
ax4 + bx2 + c = 0. (биквадратное)
Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.
Важно понимать, что решение – это ЧИСЛО, например, 15 или 
поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Уравнения f (x)= g (x) и f 1(x)= g 1(x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений.
Решение уравнения (как действия) – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием.
Основные тождественные преобразования следующие:
1) Замена одного выражения другим, тождественно равным ему.
Например, уравнение (3 x+ 2)2=15 x+ 10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10.
2) Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.
Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком «– »: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x– 10 = 0,
Ребята, как называется операция упрощения слагаемых? (приведение подобных)
Приведя подобные, получим: 9 x 2 – 3 x – 6 = 0.
3) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля.
Предыдущее уравнение разделим на 3, получим: 
Как называется это уравнение и как его решить? (квадратное, решается -через дискриминант
D=b2-4ac
Если D>0, то 
- два действительных корня.
Если D=0, то 
- один корень или два совпадающих.
Если D<O, то действительных корней нет, (на самом деле мы знаем что корни у данного уравнения есть, но они принадлежат множеству комплексных чисел).
- или с помощью теоремы Виета
Если старший коэффициент равен 1, то квадратное уравнение называется приведенным x2+bx+c=0
Очень важно, чтобы выражение, на которое мы умножаем/делим было отлично от нуля, в противном случае новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, а это влечет приобретение посторонних корней или наоборот, потери корня.
4) Возведение обеих частей уравнения в нечётную степень или извлечение из обеих частей уравнения корня нечётной степени.
Необходимо помнить, что:
а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;
б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.
Например, уравнение 7 x = 35 имеет единственный корень x = 5.Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение:
49 x 2 = 1225 имеющее два корня: x =5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем.
Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
49 x 2 = 1225 даёт в результате 7 x = 35, и мы теряем корень x = – 5.
Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению:
| 7 x | = 35, а следовательно, к двум случаям:
1) 7 x = 35, тогда x =5; 2) – 7 x = 35, тогда x = – 5.
Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и методов решения уравнений, а именно:
· преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.),
· разложения на множители (формально этот приём относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо),
· введения вспомогательных неизвестных,
уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f 1(x)= g 1(x).
В дальнейшем, на занятиях мы с вами вспомним методы решения рациональных и иррациональных уравнений, показательных и логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических уравнений, а так же их систем.
Вспомнив методы решения различных уравнений, мы перейдем к решению аналогичных неравенств.
Равносильные уравнения
| Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают. |
| Пример 1 Выяснить, являются ли уравнения х2-1=0 и х-1=0 равносильными? Решение. Вычислим корни уравнения х2-1=0; х1=1; х2= -1. Вычислим корни уравнения х-1=0; х=1 Уравнения х2-1=0 и х-1=0 не являются равносильными. |
| Пример 2. Выяснить, являются ли уравнения х2-9=0 и (х+3)(2х-8)=0 равносильными? Решение. Уравнения х2-9=0 и (х+3)(2х-8)=0 являются равносильными, т.к. уравнение х2-9=0 имеет два корня: х1=3; х2= -3.Уравнение (х+3)(2х-8)=0 имеет то же два корня: х1=3; х2= -3. |
| Пример 3. Выяснить, являются ли уравнения х2+3=0 и √(х+5)=0 равносильными? Решение. Уравнения х2+3=0 и √(х+5)=0 являются равносильными, т.к. уравнение х2+3=0 не имеет корней. Уравнение √(х+5)=0 то же не имеет корней. |
| вывод: если два уравнения имеют одинаковые корни или не имеют корней, то такие уравнения – равносильные. |
| Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x) = g(х) (1) является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х), (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). |
| Пример 4. Выяснить, какое из уравнений х-2=0 и х2-5х+6=0 является следствием другого? Решение. Обозначим уравнение х-2=0 – (1), а уравнение х2-5х+6=0 –(2). Уравнение (1) имеет единственный корень,х=2. Уравнение (2) имеет два корня х1=2; х2= 3. Уравнение (2) является следствием уравнения (1). |
| Пример 5. Выяснить, какое из уравнений х2-4х+3=0 и х2-5х+6=0 является следствием другого? Решение. Обозначим уравнение х2-4х+3=0 - (1), а уравнение х2-5х+6=0 –(2) Уравнение (1)имеет два корня х1=1; х2= 3. Уравнение –(2) имеет два корня х1=2; х2= 3. Оба уравнения имеют только по одному общему корню. Согласно определению, ни одно из них не является следствием другого. |
| Запомни: есликаждое из двух уравнений является следствием другого, то такие два уравнения равносильны. |
| Решение любых уравнений происходит в 3 этапа: первый этап- технический. Второй этап- анализ решения. Третий этап – проверка. |