Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси 
; закон изменения во времени угла поворота 
задан. Из (8) найдем проекцию вектора кинетического момента на ось вращения 
и подставим ее в третье уравнение из (10). Окончательно имеем:
или 
(11)
где 
и 
– угловое ускорение и угловая скорость вращения. Выражение (11) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно угловой скорости вращения, либо дифференциальным уравнением второго порядка относительно угла поворота тела.
Более подробно с материалом можно ознакомиться, например, в [1, 3, 4].
Пример решения задания
Шарик М, рассматриваемый как материальная точка массы 
, находится в точке О цилиндрического канала однородной прямоугольной горизонтальной пластины массы 
(рис. 2). Пластина вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 
. В начальный момент времени на ось вращения начинает действовать вращающий момент 
. Через 
вращающий момент действовать перестает, а точка М начинает двигаться вдоль канала по закону 
. Получить выражение для угловой скорости вращения платформы, которую она будет иметь через 
после выключения 
.
Рис. 2
Решение. В данной задаче механическая система, состоящая из однородной прямоугольной пластины и материальной точки, вращается вокруг вертикальной оси. При этом на первом этапе движения, продолжающемся , материальная точка по пластине не движется, то есть происходит вращение твердого тела сложной формы. На втором этапе, продолжающемся , двигаются оба элемента механической системы, но относительное движение материальной точки по пластине известно.
Этап 1. Запишем дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси
.
При записи учтено, что внешние силы веса материальной точки и пластины параллельны оси вращения, а опорные реакции в цилиндрическом шарнире В и в подпятнике А ось вращения пересекают, и, следовательно, не создают моментов относительно оси вращения.
Осевой момент инерции тела сложной формы удобно вычислить как сумму осевых моментов элементов механической системы (в рассматриваемом случае – пластины и материальной точки), при этом для пластины следует учесть несовпадение центра масс С и точки D, через которую проходит ось вращения (по теореме Гюйгенса-Штейнера)
Разделив переменные в записанном выше дифференциальном уравнении и произведя интегрирование с определенными пределами, получим выражение для угловой скорости вращения через как 
. Заметим, что угловая скорость вращения по окончанию первого этапа является начальной угловой скоростью для второго этапа.
Этап 2. Для выполнения расчета применим теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно вертикальной оси вращения
.
Поскольку на втором этапе вращающий момент уже не действует, мы получили частный случай теоремы, в котором кинетический момент относительно оси вращения должен в процессе движения оставаться неизменным. Его величина в начальный момент (для второго этапа) совпадает с кинетическим моментом по окончании первого этапа, определяемого как 
. В момент окончания второго этапа кинетический момент механической системы определяется кинетическими моментами ее элементов (пластины и материальной точки). Заметим, что кинетический момент материальной точки, участвующей в сложном движении, может быть записан через моменты ее количеств движения в переносном и относительном движениях. Тогда выражение для кинетического момента механической системы по окончании второго этапа будет
,
где 
, 
,
,
а 
– угловая скорость пластины.
Приравняв выражения для кинетического момента относительно оси вращения в начале второго этапа и в конце, получаем формулу для вычисления угловой скорости вращения пластины как
.
С решением подобных примеров можно ознакомиться, например, в [2, 3, 4].
Задание 3. Расчет параметров движения (равновесия)
тел механической системы путем составления
дифференциальных уравнений их движения