Пусть движение произвольной точки 
массой 
механической системы вызвано равнодействующей 
задаваемых сил и равнодействующей 
реакций связей. Тогда для 
-ой точки основное уравнение динамики имеет вид
; 
.
Перепишем его в форме Даламбера
(34)
где 
есть сила инерции.
Таким образом, для динамической задачи мы получили уравнение, которое можно трактовать как уравнение равновесия.
Поступая аналогично с другими точками системы и суммируя уравнения (34) по индексу , получим
Обозначив главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции соответственно через 
и 
, будем иметь
(35)
Умножив векторно 
на силы, входящие в (34), и суммируя их по , найдем главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции
(36)
Уравнения (35) и (36) представляют принцип Даламбера: в каждый момент времени главный вектор сил инерции уравновешивает главные векторы активных сил и реакций связей; точно так же главный момент сил инерции относительно некоторого центра уравновешивает главные моменты активных сил и реакций связей.
Если действующие на -ую точку силы привести к равнодействующей внешних сил 
и равнодействующей внутренних сил 
, то, с учетом свойств внутренних сил, уравнения (35) и (36) примут вид
; 
(37)
где 
– главный вектор внешних сил.
Принцип Даламбера дает удобный прием решения задач динамики несвободных систем. Путем приложения к точкам механической системы фиктивных сил инерции задача динамики легко сводится к соответствующей задаче статики. Уравнения (35) и (36) либо (37) называют уравнениями кинетостатики. Для использования этих уравнений необходимо правильно вычислять главный вектор и главный момент сил инерции механической системы, в частности, твердого тела.
Так при поступательном движении тела
при вращении тела вокруг неподвижной оси
при плоском движении тела
где С – центр масс твердого тела.
Более подробно с материалом можно ознакомиться, например, в [1, 3, 4].
Пример решения задания
Для механической системы, изображенной на рис. 5, найти реакции внешних и внутренних связей.
Решение. Мысленно расчленим механическую систему на три тела (груз, соосные блоки и диск), приложив к каждому из тел соответствующие внешние силы и силы инерции (рис. 5). Для описания равновесия тел механической системы запишем соответствующие уравнения:
Рис. 5
· уравнение для первого груза:
;
· уравнения для соосных блоков:
;
;
;
· уравнения для диска:
;
;
.
где инерционные усилия определяются как
; 
;
;
.
Сила сопротивления движению, создаваемая демпфером, пропорциональна скорости движения груза 
.
Поскольку нити нерастяжимы, а качение диска происходит без проскальзывания, можно дополнить систему уравнений уравнениями кинематических связей:
или 
; или 
;
или 
; или 
;
или 
; или 
.
В итоге получена, как и в задании 4, замкнутая система из одиннадцати уравнений с одиннадцатью неизвестными, решение которой позволяет найти все неизвестные величины.
Заметим, что особенно удобно использовать записанные уравнения в случае, когда движение тел механической системы уже найдено каким-либо образом (например, с использованием теоремы об изменении кинетической энергии). В этом случае дифференцирование закона движения позволяет вычислить скорость и ускорение груза для любого момента времени, уравнения кинематических связей позволяют найти ускорения тел и, как следствие, силы и моменты сил инерции. После этого алгебраические уравнения равновесия позволяют вычислить реакций внешних и внутренних связей:
;
;
;
;
С решением подобных примеров можно ознакомиться, например, в [2, 3, 4].
Список литературы
1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник. – М., Лань, 2009.
2. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Интеграл-пресс, Москва, 2004 г.
3. Мелконян А.Л., Черныш А.А. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие, Издательство СПбГМТУ, СПб, 2010 г.
4. Мелконян А.Л., Черныш А.А. Теоретическая механика. Часть 2. Конспект лекций. Учебное пособие, Издательство СПбГМТУ, СПб, 2014 г.