Вывод системы дифференциальных уравнений.

В соответствии со вторым знаком законом Ньютона для первой и второй детали можно записать следующие дифференциальные уравнения:

(1);

Где в правой части первого уравнения – сумма сил, действующих на первую деталь, а во втором сумма сил, действующих га вторую деталь, в проекции на вертикальную ось OY.

Учитывая упругие силы пружин согласно закону Гука пропорциональны относительному перемещению тел (сжатию или растяжению упругих элементов, пружин), а силы действующие на демпфер пропорциональны скорости относительно перемещения деталей, получим из (1) систему двух д.у. второго порядка в виде:

(2)

Для состояния равновесия механической системы характерно

равенство нулю скоростей и ускорений при отсутствии внешних нагрузок f1(t)=f2(t)=0.

Тогда абсолютные координаты состояния равновесия можно найти из решения соответствующей системы статических уравнений.

Введем новые координаты относительных перемещений.

(3)

(4)

 

Подставляя (4) в систему (2) получим с учетом уравнений статики систему двух д.у. второго порядка, описывающих перемещение деталей:

(5)

Вводя новые переменные (скорости перемещений) V1 и V2 запишем систему двух д.у. второго порядка в виде нормализованной системы четырех д.у. первого порядка:

(6)

Вводя обозначения функций – правых частей д.у. имеем:

(7)

Где

· Решение задачи в Mathsoft Apps MathCad

4.1. Исходные данные

4.2. Расчет координат ценров масс деталей и их скоростей при опорном значении изменяемого параметра с2

4.2.1 Расчет параметра системы

Ускорение свободнаго падения

Коэффициент жесткости 1-й пружины

Коэффициент жесткости 2-й пружины

Коэффициент демпфирования

Вес 1-й детали

Вес 2-й детали

Собственная частота обьеденённой массы при колебаниии на упругом элементе с жесткостью с2

Переход собственны колебаний 1-й детали

Переход собственны колебаний 2-й детали

Время наблюдения

Динамические нагрузки

Действия динамических нагрузок в период времени от 0 до Т/2

4.2.2. Графики динамических нагрузок

4.3. Решение системы д.у. модифицорованным методом Эйлера с усреднением

задание начальных условий для искомой функции

4.3.1.Задания функции правых частей системы:

4.3.2. Графика зависимости кооординат и скоростей от времени по МЭУ

График функции y1(t)

график функции y2(t)

4.4. Метод Рунге-Кутта

Задание функции правых частей системы

Общащение к стандартной функции решение системы д.у. методом Рунге-Кутта

4.4.2. Графики зависимости координат и скорости от времени по МРК

на графиках видно, что колебания механической системы затухают на интервале времини Т

4.5. Определение максимума по модулю отклонения от состояния равновесия (амплетуды) и максимума скорости для каждой из 4-х переменных.

4.5.1. По МЭУ

Максимальная амплиуда колебаний 1-го тела

Максимальная амплиуда колебаний 2-го тела

Максимальная скорость 1-го тела

Максимальная скорость 2-го тела

4.5.2. По МРК

Максимальная скорость 1-го тела

Максимальная амплиуда колебаний 2-го тела

Максимальная скорость 1-го тела

Максимальная скорость 2-го тела

4.6. Решение интеграла энергии методом центральных прямоугольников и нахождение её минимального значения

Значение минимума интегралла энергии

4.7. повторные вычисления при параметре с2, увеличенным в двое

Расчет параметра системы

Ускорение свободнаго падения

Коэффициент жесткости 1-й пружины

Коэффициент жесткости 2-й пружины

Коэффициент демпфирования

Вес 1-й детали

Вес 2-й детали

Собственная частота обьеденённой массы при колебаниии на упругом элементе с жесткостью с2

Переход собственны колебаний 1-й детали

Переход собственны колебаний 2-й детали

Время наблюдения

Динамические нагрузки

Действия динамических нагрузок в период времени от 0 до Т/2

Графики динамических нагрузок

Решение системы д.у. модифицорованным методом Эйлера с усреднением

задание начальных условий для искомой функции

Задания функции правых частей системы:

Графика зависимости кооординат и скоростей от времени по МЭУ

График функции y1(t)

 

график функции y2(t)

Метод Рунге-Кутта

Задание функции правых частей системы

Общащение к стандартной функции решение системы д.у. методом Рунге-Кутта

Графики зависимости координат и скорости от времени по МРК

на графиках видно, что колебания механической системы затухают на интервале времини Т

Определение максимума по модулю отклонения от состояния равновесия (амплетуды) и максимума скорости для каждой из 4-х переменных.

По МЭУ

Максимальная амплиуда колебаний 1-го тела

Максимальная амплиуда колебаний 2-го тела

Максимальная скорость 1-го тела

Максимальная скорость 2-го тела

По МРК

Максимальная скорость 1-го тела

Максимальная амплиуда колебаний 2-го тела

Максимальная скорость 1-го тела

Максимальная скорость 2-го тела

Решение интеграла энергии методом центральных прямоугольников и нахождение её минимального значения

Значение минимума интегралла энергии

4.8. Ошибки по методу Рунге-Ромберга

4.8.1. Ошибки МЭУ

погрешность времени

погрешность координаты первой детали

погрешность координаты второй детали

погрешность скорости первой детали

погрешность скорости второй детали

4.8.2. Ошибки МРК

погрешность времени

погрешность координаты первой детали

погрешность координаты второй детали

погрешность скорости первой детали

погрешность скорости второй детали

Из вычислений видно что МЭУ имеет более высокий порядок точности чем МРК