Лекция 9. Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации
1. Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации.
2. Теорема Чебышева.
3. Итерационная процедура синтеза оптимального КИХ-фильтра.
Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации
Постановка задачи: синтезировать оптимальный КИХ-фильтр с ЛФЧХ.
Оптимальный КИХ-фильтр — это КИХ-фильтр _____________________________
Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации проиллюстрируем на примере синтеза КИХ-фильтраФНЧ.
В решении задачи аппроксимации выделяют следующие этапы:
1. Задание ______________________________________________ 
.
В качестве _____________________________ функции выбирается непрерывная функция (рис. 9.1) — _______________________________________
Задача аппроксимации решается на совокупности ПП и ПЗ, которую называют ________________________________ 
.
Для ФНЧ интервал задается вектором 
(рис. 9.1).
Необходимо синтезировать ___________________________ КИХ-фильтр с АЧХ, __________________________
Амплитудная функция этого фильтра будет соответствовать _____________________________ функции.
Рис. 9.1. Аппроксимируемая функция
2. Выбор класса аппроксимирующих функций.
Классом аппроксимирующих функций называют вид функции, выбранной для аппроксимации функции .
В качестве класса аппроксимирующих функций выбирают тригонометрический полином, соответствующий амплитудной функции КИХ-фильтра 
(табл. в Лекции 7).
АЧХ КИХ-фильтра будет равна ее модулю: 
.
Например, для КИХ-фильтров 1-го типа этот полином будет иметь вид:
, (9.1)
где 
— порядок ______________, связанный с ___________ КИХ-фильтра 
:
; (9.2)
¾ вектор неизвестных коэффициентов 
длины 
, связанных линейно с отсчетами импульсной характеристики КИХ-фильтра:
(9.3)
В выбранном классе имеем _________________ количество аппроксимирующих функций (9.1), отличающихся __________________________
Необходимо выбрать ____________________________________________________
3. Выбор критерия аппроксимации.
Критерий аппроксимации ________________________________________ функций и .
В методе чебышевской аппроксимации выбран ______________________________ критерий (критерий Чебышева):
, (9.4)
где — ________________________________
— взвешенная ошибка аппроксимации;
— весовая функция.
Этот критерий также называют равномерным.
В соответствии с данным критерием, полиномом наилучшего приближения считается тот, который на интервале обеспечивает ________________
______________________________________________________________________
Весовая функция управляет значением ошибки аппроксимации в ПП и ПЗ и рассчитывается следующим образом:
· вес, равный 1, присваивается полосе с наибольшим допустимым отклонением;
· веса в остальных полосах определяются как отношение наибольшего отклонения к допустимому отклонению в данной полосе.
Пример 9.1
Для ФНЧ заданы максимально допустимые отклонения в ПП 
и в ПЗ 
. Определить весовую функцию .
Вес, равный 1, присваивается______
В _________ вес определяется как отношение ______________________
4. Решение задачи аппроксимации.
Решение задачи аппроксимации сводится к поиску ________________________
полинома наилучшего приближения .
По известным коэффициентам полинома будет определена ______________ (см. (9.3)), а значит, и _________________________
Таким образом, в методе чебышевской аппроксимации синтез КИХ-фильтра сводится к расчету _______________
Оптимальность синтезированного КИХ_фильтра следует из теоремы Чебышева.
Теорема Чебышева
Теорема Чебышева (теорема об альтернансе).
Для того чтобы тригонометрический полином был полиномом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции 
на интервале , необходимо и достаточно, чтобы максимальная по модулю взвешенная ошибка аппроксимации на этом интервале достигалась не менее чем в 
точках и последовательно чередовалась по знаку.
Следствия из теоремы Чебышева:
1. Полином наилучшего приближения определяется среди полиномов ____________порядка 
.
2. Существует единственный полином наилучшего приближения, который при заданном порядке обеспечивает _________________________________
3. Существует единственный полином наилучшего приближения, который при заданной максимальной по модулю ошибке аппроксимации обеспечивает ________________
Согласно (9.2), это тождественно _________________________
4. Взвешенная ошибка аппроксимации имеет равноволновый, но не эквидистантный характер.
5. Частоты, на которых модуль взвешенной ошибки аппроксимации достигает своего максимума, называют _______________________________; их количество 
равно:
. (9.7)
6. Чередование противоположной по знаку максимальной ошибки аппроксимации позволяет записать критерий Чебышева (9.4) для частот альтернанса 
в виде (для простоты 
):
,
где 
— модуль максимальной ошибки аппроксимации на частотах альтернанса.
Перепишем с учетом (9.1):
,
откуда имеем систему из 
алгебраических уравнений:
с неизвестными: _____________________________________________
Однако должны быть известны частоты альтернанса!
Для их определения и поиска оптимального решения разработан численный метод, известный в литературе как алгоритм Ремеза.
Достоинство метода — ___________________________________________________
Недостаток метода — ___________________________________________________
Пример 9.2
Задан график АЧХ ФНЧ, синтезированного на базе КИХ-фильтра типа 1.
Определить оптимальный порядок КИХ-фильтра.
Решение
По графику АЧХ:
_________
В соответствии с (9.5):
________
В соответствии с (9.2):
_________
ВНИМАНИЕ! Для КИХ-фильтров других типов см. формулы в табл. Лекции 7.
ФЧХ КИХ-фильтра — ______________ с точностью до _________________________
где АЧХ равна _____.
Рис. 9.2. АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра ФНЧ
Итерационная процедура синтеза оптимального КИХ-фильтра
1. _________________________________________
2. Оценка порядка КИХ-фильтра (по эмпирической формуле).
3. Синтез КИХ-фильтра — расчет________________________________________
В методе чебышевской аппроксимации синтез КИХ-фильтра сводится к расчету ________________
4. Уточнение порядка КИХ-фильтра.
Производится по результатам проверки выполнения требований к АЧХ (отклонения от 1 в ПП и 0 в ПЗ):
o не выполняются — порядок ______________________;
o выполняются — порядок _______________.
Производится по результатам проверки выполнения требований к АЧХ (отклонения от 1 в ПП и 0 в ПЗ):
o не выполняются — порядок ______________________;
o выполняются — порядок _______________.
В итоге находят ________________________порядок 
, при котором выполняются требования к АЧХ.
ВНИМАНИЕ. При увеличении/уменьшении порядка обращать внимание на тип КИХ-фильтра!
5. Выбор структуры КИХ-фильтра — _____________________________