Цель работы
Целью настоящей работы является знакомство электронной теорией проводимости Друде, с бесконтактным методом измерения удельного сопротивления полупроводниковых пластин, освоение методики измерения, и экспериментальное определение удельного сопротивления ряда пластин.
2. Продолжительность
Работа продолжается четыре академических часа в аудитории и два академических часа – самостоятельная работа студента: подготовка конспекта описания, написание отчета и подготовка к ответам на контрольные вопросы.
3. Оборудование, приборы, инструментарий
Измеритель добротности ВМ-560 TESLA, мультиметр Agilent 34411A (или 34405A) 
персональный компьютер для проведения расчетов или для управления мультиметром, пинцет.
Теория
4.1. Электронная теория проводимости металлов.
Многие понятия физики полупроводников основаны на электронной теории проводимости металлов (теория Пауля Друде, 1900 г.). Прежде всего, это относится к таким понятиям, как удельное сопротивление, удельная электропроводность, и подвижность носителей заряда.
Эта теория, рассматривает электронный газ как газ, к которому можно применить кинетическую теорию газов. Предполагается, что электронный газ подобен идеальному газу: он не имеет собственного объема, и электроны не взаимодействуют друг с другом. Электронный газ находится в тепловом равновесии с решеткой кристалла. Движение каждого электрона массой m 0=9.11·10-31 кг определяется двумя векторными величинами 
и 
(или 
). Предположение о малости собственного объема оправдано, так как по классической теории радиус электрона r 0=1·10-15 м, объем V0=1·10-45 м3. Если число электронов в единице объема n =1·1028 м-3, то собственный объем электронов bсоставляет b=n V0=1·10-17 от объема тела. Однако предположение о не взаимодействии электронов кажется совершенно необоснованным. Заряд электрона равен е =1.6·10-19 Кл, сила, с которой они взаимодействуют, находясь на расстоянии 1·10-10 м, равна 2·10-8 н. Ускорение, приобретаемое электроном при действии этой силы, имеет величину 2·1022 м·с-2, а энергия кулоновского взаимодействия двух электронов при r =1·10-10 м составляет около 14 эВ.
Полная энергия кулоновского отталкивания электронов должна была бы достигать колоссальной положительной величины. Однако, энергия электронов в металлах отрицательна (по отношению к энергии удаленного в бесконечность электрона). Это связано с тем, что кроме кулоновского отталкивания электронов существует кулоновское притяжение между электронами и ионами кристаллической решетки. Энергия взаимодействия электронов с ядрами имеют тот же порядок величины, что и при взаимодействии электронов друг с другом. Двигаясь вполе всех электронов и ядер, каждый электрон испытывает как притяжение, так и отталкивание. В результате этих двух видов взаимодействия и создается «кажущаяся независимость» движения отдельных электронов. Квантовая механика действительно позволяют рассматривать электроны как не взаимодействующие частицы.
Электроны двигаются в кристалле хаотически. При этом они рассеиваются на ионах решетки, что приводит к изменению вектора скорости электронов. Но изменение модуля скорости электрона связано с изменением его кинетической энергии. В условиях термодинамического равновесия температура электронного газа должна быть равной температуре ионов решетки. Это означает, что в среднем не происходит передачи энергии ни от электронов к решетке, ни от решетки к электронам.
Но если изменить температуру электронного газа, то вследствие обмена энергией между электронами и ионами должна измениться и температура решетки. Этот факт играет важную роль при объяснении проводимости металлов и полупроводников.
В результате случайного характера рассеяния электронов при взаимодействии их с ионами решетки средняя скорость одногоэлектрона за длительный промежуток времени и его среднее перемещение, рассматриваемые как векторные величины, должны быть равны нулю. Это утверждение справедливо для любогоэлектрона. Поскольку среднее перемещение электронов при хаотическом тепловом движении равно нулю, то хаотическое движение не вызывает электрического тока, который характеризует перенос заряда через некоторое сечение. Для создания тока необходимо направленное движение электронов, которое может быть вызвано различными факторами: электрическим полем, градиентом температуры, неоднородным освещением и некоторыми другими причинами.
Если в металле создано электрическое поле с напряженностью 
, то электроны будут ускоряться этим полем. По второму закону Ньютона ускорение 
, сообщаемое этим полем электрону, равно
.
За время t электрон приобретет скорость , направленную против поля.
.
Если при t =0 скорость электрона – тепловая скорость 
, то через интервал времени t скорость будет равна
.
Составляющая скорости электронов по полю уменьшается, а против поля - увеличивается, и вся совокупность электронов получает некоторую скорость направленного движения. Электроны, двигаясь хаотически, совершают в то же время движение против поля. Направленное движение совокупности электронов в электрическом поле называется дрейфом, а скорость направленного движения называется дрейфовой скоростью и обозначается 
. За время t под действием поля электрон переместится на расстояние 
.
.
В классической электронной теория предполагается, что изменение скорости происходит в результате кратковременного взаимодействия электрона с атомами или ионами решетки. То есть предполагается, что взаимодействие электрона с решеткой подобно явлению удара вмеханике. Между двумя соударениями электрон движется как свободная частица, не испытывая влияния поля решетки и остальных электронов. Для характеристики движения электрона вводятся понятия времени t и длины l свободного пробега: t имеет смысл среднего времени между двумя соударениями, а l - среднего пути между двумя соударениями.
Средняя длина свободного пробега l связана со средним временем свободного пробега t соотношением
,
где V T - среднеарифметическая значение модуля скорости теплового движения электронов.
Среднюю скорость дрейфа электронов в электрическом поле можно определить следующим образом. В начальный момент времени при t =0 скорость направленного движения электрона равна нулю, а при t =t равна соответственно
.
Скорость дрейфа будет равна средней скорости направленного движения, то есть полусумме начальной и конечной скоростей.
.
.
Средняя скорость направленного движения пропорциональна напряженности электрического поля . Величина, связывающая среднюю дрейфовую скорость электронов с напряженностью электрического поля, называется подвижностью электронов, численно равной скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности, и обозначается обычно буквой mn.
Если концентрация электронов равна n,то в единицу времени через единичное сечение пройдет заряд, заключенный в объеме параллелепипеда с единичным сечением и длиной l = v D. Поскольку величина, равная заряду, проходящему в единицу времени через единичное сечение, есть плотность тока, то плотность тока 
составляет
.
Это соотношение называю законом Ома в дифференциальной форме. Удельная электропроводность металла sn может быть записана различными формулами.
,
,
.
Удельное сопротивление есть величина обратная удельной электропроводности.
.
Размерности: удельная электропроводность в СИ – [σ]=[См·м-1], в физике полупроводников и в микроэлектронике σ часто измеряют в См·см-1; подвижность в СИ - [ m ]=А·с2·кг-1, в физике полупроводников и в микроэлектронике подвижность часто измеряют также величиной дрейфовой скорости в единичном электрическом поле, то есть величиной с размерностью [m]=см2·В-1 с-1; удельное сопротивление в СИ – [ρ]=Ом·м, в физике полупроводников и в микроэлектронике ρ часто измеряют также в Ом·см.
Рассуждения, приведенные выше при выводе формулы для электропроводности металла, справедливы как для электронов проводимости, так и для дырок в полупроводниках.
Удельное сопротивление однородного легированного полупроводника n-типа проводимости также определяется концентрацией электронов n и их подвижностью mn по вышеприведенной формуле.
Если полупроводник p-типа проводимости, то удельное сопротивление определяется концентрацией дырок p их подвижностью mp
.
Для полупроводника, содержащего и электроны и дырки, удельное сопротивление равно
.
В невырожденных полупроводниках в области истощения мелкой донорной или акцепторной примеси можно считать, что концентрация электронов равна концентрации доноров n = N D, а концентрация дырок равна концентрации акцепторов p = N A.
Аналогично подвижности электрона подвижность дырки – это величина, равная отношению средней скорости дырки V Дp к напряженности электрического поля E, этот дрейф вызвавшего.
.
Подвижность носителей заряда в кристалле полупроводника определяется механизмами их рассеяния.
Закон Ома справедлив, пока электрическое поле не изменяет концентрацию электронов п и их подвижность mn. Однако, с ростом напряженности электрического поля концентрация электронов и их подвижность могут измениться.
Время свободного пробега можно интерпретировать и несколько иначе. Если выключить в некоторый момент времени электрическое поле, то совокупность электронов будет продолжать направленное движение до тех пор, пока в результате столкновений она не передаст решетке всю приобретенную в поле скорость. Это направленное движение прекратится в среднем через время t. После этого электроны вернутся в состояние хаотического теплового движения. Очевидно, что столкновения приводят совокупность электронов в равновесное состояние, в то время как электрическое поле приводит к нарушению этого равновесного состояния. Переход системы из неравновесного состояния в равновесное называется релаксацией, а время восстановления нарушенного равновесия - временем релаксации. Таким образом, время свободного пробега – это время релаксации.
4.2. Бесконтактный метод определения удельного сопротивления.
При бесконтактном методе измерения удельного сопротивления образец помещают в зазор тороидального ферритового датчика, включенного в некоторый колебательный контур, и измеряют изменение электромагнитной энергии, локализованной внутри контура. Внесение образца приводит к дополнительным потерям энергии поля внутри контура, так как силы электрического поля совершают положительную работу над токами проводимости в образце. Энергия поля, полученная носителями тока, превращается в джоулево тепло. Поэтому, по результатам измерений энергии джоулевых потерь в контуре, с внесенным в него образцом, можно определить удельное сопротивление образца.
При бесконтактном методе измеряют добротность резонансного контура, в который помещен образец.
По определению, добротность – это величина, равная отношению полной энергии электромагнитных колебаний в контуре к величине потерь этой энергии за период. При резонансе потери можно с большой точностью измерить по величине активного сопротивления контура (напомним, что реактивное сопротивление на резонансной частоте равно нулю).
Добротность (Q) - удобная характеристика потерь электромагнитной энергии, накопленной в резонансном контуре.
В настоящей работе тонкая кремниевая пластина 3 толщиной h помещается в узкий зазор тороидального ферритового датчика 1, в котором при помощи электрической обмотки 2 возбуждается переменное электромагнитное поле с частотой w=w0 (рис.1). Эту частоту можно считать резонансной для эквивалентного колебательного контура, у которого индуктивное сопротивление тороидальной катушки скомпенсировано емкостным сопротивлением измерительной цепи прибора.
Интервал удельных сопротивлений измеряемых пластин ограничен собственной добротностью резонансного контура 
и глубиной проникновения электромагнитного поля (скин-эффекта) вглубь объема пластины, сопротивление которой при измерениях является активным сопротивлением эквивалентного резонансного контура. Точность измерений определяется погрешностью резонансного метода измерений.
Обычный интервал измерения удельного сопротивления бесконтактным методом - от нескольких сотых долей до нескольких единиц Ом×см.
4.3. Расчет потерь электромагнитной энергии при использовании бесконтактного метода измерений
Переменное магнитное поле в зазоре тороида индуцирует вихревое электрическое поле и связанные с ним вихревые токи проводимости, которые являются источниками потерь электромагнитной энергии, точнее преобразования ее в энергию джоулевых потерь в пластине.
Рассмотрим изменение полной электромагнитной энергии W0, накопленной внутри зазора тороида, после введения в него пластины полупроводника толщиной h в момент времени t=0:
где 
и 
- векторы электрической и магнитной индукции в системе СИ, 
- плотность энергии электромагнитного поля в зазоре; 
- часть объёма пластины, который находится внутри зазора. Считаем, что 
, и энергия извне внутрь объема зазора не поступает.
Скорость изменения плотности электромагнитной энергии в зазоре из–за потерь внутри пластины равна
.
Подставим сюда скорости изменения векторов электрической и магнитной индукции из уравнений Максвелла
(1)
и запишем общее уравнение для изменения плотности электромагнитной энергии
Первый член справа совпадает с известным выражением закона Джоуля - Ленца в дифференциальной форме. Смысл выражения в круглых скобках станет понятен, если его преобразовать с помощью известного тождества векторной алгебры:
,
где 
и 
- произвольные векторы.
Проинтегрируем это уравнение по той части объема пластины, которая находится в зазоре тороида. К интегралу от 
применим теорему Остроградского-Гаусса
Первый интеграл, очевидно, равен полной энергии джоулевых потерь в пластине. Второй интеграл представляет собой поток вектора Умова-Пойтинга 
через замкнутую поверхность той части объёма пластины, который находится в зазоре. Модуль этого вектора 
равен количеству электромагнитной энергии, протекающей в единицу времени через единицу площади поверхности. Направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к боковой поверхности зазора. Произведение 
положительно, поэтому интеграл по поверхности с обратным знаком, равен энергии электромагнитного поля, вытекающей через боковую поверхность зазора.
Итак, энергия электромагнитного поля, накопленная в зазоре, после введения в него полупроводниковой пластины, убывает не только за счет превращения ее в джоулево тепло, но и за счет вытекания ее (излучения электромагнитных волн) через боковую поверхность зазора внутрь объема пластины, который находится вне зазора.
В стационарном состоянии, для того, чтобы количество запасенной электромагнитной энергии внутри зазора оставалось постоянным, необходимо, чтобы в него от внешнего источника (генератора измерительного прибора) через обмотку 2 поступало в единицу времени количество энергии 
, равное энергии потерь
Действительно, в этом случае 
и величина добротности
.
Для однородной пластины 
, и полная мощность джоулевых потерь в пластине равна
где σ - удельная электропроводность полупроводниковой пластины, которую считаем постоянной.
С помощью уравнений Максвелла, рассчитаем вначале электромагнитное поле внутри зазора без пластины. В узком зазоре электромагнитное поле можно считать однородным по толщине. Однако в перпендикулярной плоскости поле нельзя считать однородным, если размеры поперечного сечения зазора сравнимы с расстоянием его центра от оси тороида. Если в декартовой системе координат ось тороида совместить с направлением оси 
(рис. 1), а ось 
провести через центр нижней плоскости зазора, то по теореме о циркуляции вектора 
по окружности радиуса 
(
) с центром на оси тороида, векторы напряженности и индукции магнитного поля в произвольной точке x плоскости зазора будут направлены вдоль оси 
и равны
(2)
где 
- сила переменного тока в обмотке, 
- число витков в обмотке тороида. Удобно ввести средние значения напряженности и индукции магнитного поля в тороиде
, (3)
где 
- векторы напряженности и индукции магнитного поля на оси тороида.
Найдем вектор напряженности электрического поля в плоскости зазора. Из уравнений Максвелла (1) следует
. (4)
Легко убедиться, что равенству (3) удовлетворяет вектор электрического поля 
в зазоре, перпендикулярный вектору ,
(5)
4.4. Влияние скин - эффекта на распределение электромагнитного поля в пластине
После введения в зазор полупроводниковой пластины, вследствие непрерывности вектора магнитной индукции, его среднее значение (формула (3)) в пластине останется таким же, как в зазоре без пластины. Тангенциальные составляющие электрического поля также непрерывны на поверхности пластины. Однако, формулы (5) перестают быть справедливыми для описания распределения электрического поля внутри пластины. Они не учитывает влияние скин-эффекта, который заключается в том, что глубина проникновения переменного электромагнитного поля в пластину зависит от её проводимости, магнитной проницаемости и частоты приложенного поля.
Для описания скин-эффекта обратимся к уравнениям Максвелла (1). В первом уравнении можно пренебречь токами смещения в полупроводнике по сравнению с токами проводимости, т.е. написать
.
С помощью этого уравнения можно исключить вектор H из второго уравнения Максвелла (1)
.
В левой части воспользуемся тождеством
,
и учтем, что, согласно (5), 
.
В результате получим уравнение
. (6)
Если пластина не обладает магнитными свойствами, то в уравнении (6) следует считать μ=1. Напряженность электрического поля E зависит от времени как exp(i ω t), поэтому уравнение (6) удобно записать в виде
, (7)
, (8)
где ls - глубина скин-слоя.
Найдем решение уравнения (7) с вектором 
в плоскости пластины
,
причем, в силу непрерывности электрического поля на поверхности пластины, зависимость 
и 
от переменных и 
быть такой же, как в формулах (5). Для электрического поля, которое проникает в пластину снизу, решение (6) имеет вид
(9)
Решение для поля, которое проникает в пластину сверху,
(11)
Выражение (9) при 
и выражение (10) при 
должны быть равны напряженности электрического поля в зазоре (5), поэтому
. (11)
Преобразуем выражения для экспонент в (9) и (10), например,
и перепишем (9) и (10) в виде
(12)
(13)
Из формул (12) и (13) становится ясен смысл глубины скин-слоя: 
- это глубина, на которой переменное электрическое поле, проникающее в пластину, убывает в 
раз.
Для расчета джоулевых потерь в зазоре с пластиной нужно проинтегрировать величину джоулевых потерь в единице объёма пластины - 
по объему той части пластины, которая находится в зазоре.
. (14)
В формуле (14) суммируются поля, проникающие в пластину снизу и сверху, множитель 
появляется в результате усреднения мощности джоулевых потерь за период. Интегрируя сумму квадратов модулей выражений (12) и (13), найдём среднюю за период мощность джоулевых потерь
, (15)
где 
- функция относительных геометрических размеров тороида и зазора.
4.5. Расчет потока вектора Умова-Пойтинга
Оценим величину мощности потерь электромагнитной энергии, вытекающей через боковую поверхность той части объема пластины, которая находится внутри зазора.
Вектор Умова-Пойтинга 
параллелен плоскости пластины, поэтому
Найдём сначала поток этого вектора через боковые грани, перпендикулярные оси (рис.2)
(16)
Как и раньше, множитель соответствует средней мощности потерь за период. Электромагнитное поле на поверхности 
(17)
На поверхности 
(18)
Используя выражения (17) и (18) в под интегралом в формуле (16) и учитывая направления внешних нормалей к поверхностям и , в результате интегрирования получим
, (19)
где 
- средний радиус тороида. Результат (19) следует удвоить за счет электромагнитной энергии, поступающей в пластину сверху.
Аналогично вычислим поток вектора Умова-Пойтинга через боковые грани, перпендикулярные оси , На поверхности 
(
)
(20)
Очевидно, на поверхности 
(21)
Из соображений симметрии потока вектора Умова-Пойтинга через поверхности и равны. Суммарный поток через эти поверхности равен
. (22)
Этот результат следует удвоить, учитывая электромагнитную энергию, поступающую в пластину сверху.
Полная средняя мощность 
, теряемая в той части объёма пластины, которая находится вне зазора, оказывается равной
. (23)
Сравнивая формулу (23) с (15), оценим, какую часть эта энергия составляет от энергии джоулевых потерь внутри зазора
. (24)
В случае сильного скин-эффекта при 
глубина скин-слоя 
намного меньше толщины пластины и тем более при 
получим
. (25)
Для слабого скин-эффекта при 
и тем более при 
, разлагая в ряд экспоненту в формуле (24) 
, получим
. (26)
Из формулы (25) следует, что в случае сильного скин-эффекта потерями в объёме пластины вне зазора, можно пренебречь. Наоборот, если скин-эффект отсутствует, то согласно формуле (26), в этот объём излучается энергия, которая намного больше энергии джоулевых потерь внутри зазора. Поэтому для пластин с малой электропроводностью величина 
в (26) может соответствовать добротности, которая окажется больше добротности датчика без пластины, и её будет невозможно зафиксировать.
Интервал измерений проводимости бесконтактным методом снизу не связан со скин-эффектом, он ограничен величиной добротности датчика без пластины. Сверху этот интервал ограничен скин-эффектом, когда для пластин с большой проводимостью в тонком скин-слое джоулевы потери оказываются также настолько малыми, что соответствующая им добротность меньше добротности датчика без пластины.
4.6. Метод измерения удельной электропроводности Q-метром
Проведенное теоретическое исследование позволяет обосновать следующую методику измерений. Поскольку неизвестны параметры ферритового датчика, джоулевы потери в обмотке, потери на излучение и так далее предлагается вначале измерить величину 
- добротность ферритового датчика без пластины, затем 
- добротность датчика с эталонной пластиной, проводимость которой 
считается известной, и, наконец, 
- добротность пластины, проводимость которой 
требуется определить
Учитывая определение добротности, составим систему трех уравнений
(27)
(28)
(29)
Здесь W - полная электромагнитная энергия эквивалентного резонансного контура, 
- джоулевы потери эталонного образца, 
- джоулевы потери образца, проводимость которого нужно определить.
Из системы уравнений (27 - 29) найдем величину отношения 
.
(30)
С другой стороны, из выражения (15) для энергии джоулевых потерь следует
(31)
Приравнивая правые части выражений (30) и (31), получим формулу для вычисления 
(32)
Формулу (32) можно использовать для определения удельной электропроводности (или удельного сопротивления) пластины c неизвестной удельной электропроводностью s2 по результатам измерения пластины с неизвестной удельной электропроводностью s1.
5. Экспериментальная часть
5.1. Подготовка к работе
Подключите тороидальный ферритовый датчик к клеммам Lx последовательного колебательного контура, расположенным на верхней панели измеритель добротности ВМ-56, если он еще не подключен. Схема последовательного колебательного контура представлена на рис.5.
Для подготовки измерителя добротности ВМ-560 к работе убедитесь, что его органы управления установлены в следующие исходные положения. При необходимости измените положения органов управления.
Переключатель рода измерений Q – Δ Q - в положение Q.
Переключатель ВНУТРЕННИЙ ВОЛЬТМЕТР – ОТКЛ. назадней панели измерителя - в положение ВНУТРЕННИЙ ВОЛЬТМЕТР. При этом будет включен внутренний вольтметр, и на приборе М93-10 на лицевой панели измерителя добротности ВМ-560 будет отображаться значение добротности.
Тумблер питания – в положение I, при этом должна загореться индикаторная лампочка, под символом ~. После прогрева в течение 15 мин. измеритель добротности готов к работе.
5.2. Проведение измерений
- Поставьте переключатель ПРЕДЕЛЫQ на лицевой панели измерителя добротности в положение, соответствующее предполагаемой величине добротности измеряемого ферритового датчика без пластины. Рекомендуемый предел – 100.
- Настройте контур в резонанс. Для этого выберите необходимый диапазон частот внутреннего генератора (V или VI), для чего нажмите соответствующую клавишу. Грубая настройка контура в резонанс осуществляется нажатием кнопки включения электрического привода ротора измерительного конденсатора, либо вращением барабана изменения частоты генератора. Точная настройка производится ручкой ЕМКОСТЬ пФ. Момент настройки в резонанс определяется по максимальному отклонению стрелки на шкале прибора М93-10 (Q), при этом с барабана прибора можно считать значение резонансной частотыω0. Если стрелка при этом оказывается в пределах первой трети шкалы, то следует переключиться на более чувствительный диапазон измерений с помощью переключателя ПРЕДЕЛЫQ.
- Откалибруйте измеритель добротности, для чего нажмите кнопку КАЛИБРОВКА Q и, удерживая ее, ручкой Q совместите стрелку прибора с риской ▼, после чего отпустите кнопку КАЛИБРОВКА Q.
- Измерьте значение добротности ферритового датчика без пластины Q 0 и запишите ее значение в протокол измерений (таблица 1).
- Найдите в кассете пластину с известным удельным сопротивлением и толщиной (рабочий эталон), вставьте ее в зазор тороидальной катушки. Измерьте добротность Q 1 контура с рабочим эталоном и соответствующую резонансную частоту 
.
- Запишите в протокол удельное сопротивление 
и толщину 
рабочего эталона. Запишите в протокол резонансную частоту и добротность Q 1 контура с рабочим эталоном.
- Выньте рабочий эталон из зазора и уберите его в кассету. Затем выньте из кассеты пластину с неизвестным удельным сопротивлением, вставьте ее в зазор тороидальной катушки и измерьте добротность Q 2 контура и резонансную частоту 
. После этого уберите пластину в кассету и повторите эту операцию для всех оставшихся в кассете пластин (до 5 - 7 пластин).
Таблица 1
| Лабораторная работа №3: | |||||
| Бесконтактный метод измерения | |||||
| удельного сопротивления полупроводников | |||||
| Группа: | Бригада: | Дата: | |||
| Параметры эталона | №обр. | 
|
| Q 2 | |
| Q 0 | мкм | кГц | |||
| Ом·см
| |||||
| мкм
| |||||
| кГц
| |||||
| Q 1 | |||||
<
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |