Тема 2. Дифференциальные уравнения




Основные понятия о дифференциальных уравнениях первого порядка [4, §2.1]. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [4, §2.2]. Однородные дифференциальные уравнения [4, §2.3]. Линейные дифференциальные уравнения [4, §2.4]. Основные понятия о дифференциальных уравнениях высших порядков [4, §3.1]. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка [4, §3.2]. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка [4, §4]. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка [4, §5]. Системы дифференциальных уравнений [4, §6].

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Положив , приведем его к дифференциальному уравнению с разделенными переменными:

или

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

Так как

то – общий интеграл заданного дифференциального уравнения; – общее решение заданного дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Положим где и – неизвестные функции от Тогда заданное уравнение примет вид

или

Подберем функцию так, чтобы Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными откуда После интегрирования обеих частей уравнения получим откуда

Для определения функции подставим в уравнение учитывая, что Имеем , или Следовательно,

Таким образом, общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид

Используя начальное условие , вычислим соответствующее ему значение постоянной откуда

Значит, частное решение заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию , имеет вид

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение Его корни – Следовательно,

Найдем частное решение заданного неоднородного уравнения Его правая часть имеет вид Значит, будем искать в виде где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения ; и – многочлены нулевой степени, то есть

Тогда . Подставив в исходное уравнение, получим

или

Отсюда имеем Следовательно,

Поэтому и общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид

Найдем частное решение заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Так как то получаем систему уравнений

или

Отсюда

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Пример 5. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Записать данную систему в матричной форме и найти ее частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Запишем заданную систему линейных дифференциальных уравнений в матричной форме: где

Характеристическое уравнение системы имеет вид , или . Получаем квадратное уравнение , корни которого

Частные решения системы дифференциальных уравнений будем искать в виде Для нахождения и решим систему уравнений

При система примет вид Пусть тогда Получаем частные решения

При система примет вид Пусть тогда Получаем частные решения

Таким образом, общее решение заданной системы дифференциальных уравнений имеет вид

Используя начальные условия , найдем

Значит, искомое частное решение имеет вид

 

Тема 3. Ряды

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости числового ряда. Ряд геометрической прогрессии. Гармонический ряд [4, §13]. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. Предельный признак сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши [4, §14]. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости знакочередующихся рядов [4, §15]. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда [4, §17]. Разложение функций в степенные ряды [4, §18]. Приложения степенных рядов [4, §19]. Ряды Фурье. Теорема Дирихле. Разложение функций в ряды Фурье [4, §21].

Пример 6. Исследовать сходимость числовых рядов:

1) 2) 3)

Решение.

1. Применим предельный признак сравнения.

Сравним ряд с обобщенным гармоническим рядом , который сходится, так как Имеем

.

Так как получили конечный, отличный от нуля предел, то заданный ряд, так же как и обобщенный гармонический ряд, сходится.

2. Применим признак Даламбера. Так как

,

то по признаку Даламбера ряд сходится.

3. Применим радикальный признак Коши. Так как

то по радикальному признаку Коши заданный ряд расходится.

Пример 7. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость.

Решение. Составим ряд из модулей членов заданного ряда:

Исследуем его на сходимость с помощью признака Даламбера. Так как

то ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, сходится, следовательно, заданный ряд сходится абсолютно.

Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Найдем радиус сходимости заданного степенного ряда:

Таким образом, интервал сходимости заданного степенного ряда имеет вид

Исследуем сходимость ряда на границах интервала сходимости.

При имеем ряд Это знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница.

Так как

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает: .

2.

то по признаку Лейбница ряд сходится.

При имеем ряд Это знакоположительный числовой ряд. Применим предельный признак сравнения.

Сравним его с обобщенным гармоническим рядом который расходится, так как Имеем

Получили конечный, не равный нулю предел, значит, ряд так же как и ряд расходится.

Следовательно, область сходимости заданного ряда имеет вид




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-12-18 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: