Числовые характеристики случайных величин

Теоретические вопросы:

1. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.
2. Что называют законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.
3. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины и докажите его свойства.
4. Дайте определение дисперсии дискретной случайной величины и докажите ее свойства.
5. В чем состоит преимущество среднего квадратического отклонения перед дисперсией.
6. Чему равны математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных независимых случайных величин.
7. Дайте определение интегральной функции и докажите ее свойства.
8. Как, зная интегральную функцию, найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в данном интервале.
9. В чем состоит различие графиков интегральной функции непрерывной и дискретной случайных величин.
10. Дайте определение дифференциальной функции и докажите ее свойства.
11. Как, зная дифференциальную функцию, найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, заключенное в данном интервале.
12. Как найти интегральную функцию по известной дифференциальной функции.
13. Дайте определение математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины.

Задания:

1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины y=ax+в, если закон распределения случайной величины Х задан табл чно (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).
2. Даны законы распределения двух случайных величин X и Y. Найти математическое ожидание, дисперсию суммы X+Y двумя способами: 1) составив закон распределения X+Y; 2) пользуясь свойствами M(X+Y) = M(X)+M(Y), Д(Х+Y) = Д(Х)+Д(Y).
3. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: Х₁ и Х₂, причем Х₁ < Х₂, известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х).
4. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной интегральной функцией распределения F(Х). Построить графики интегральной и дифференциальной функций.
5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(х). Требуется найти интегральную функцию F(X) и .

 

Вариант 1.

 

1.

xi
pi	0,4	0,3	0,1	0,2

 

а=2; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,2	0,3	0,4	0,1	P(Y)	0,6	0,1	0,2	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,1	3,9	0,09

 

4.

 

5.

 

Вариант 2.

 

1.

xi
pi	0,1	0,2	0,5	0,2

 

а=3; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,3	0,2	0,1	0,4	P(Y)	0,1	0,4	0,2	0,3

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,3	3,7	0,21

 

4.

 

5.

 

 

 

Вариант 3.

 

1.

xi
pi	0,2	0,2	0,3	0,3

 

а=3; в=1

 

2.

X					Y
P(X)	0,5	0,1	0,1	0,3	P(Y)	0,6	0,1	0,2	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,5	3,5	0,25

 

4.

 

5.

 

 

Вариант 4.

 

1.

xi
pi	0,5	0,3	0,1	0,1

 

а=3; в=3

 

2.

X					Y
P(X)	0,1	0,5	0,3	0,1	P(Y)	0,1	0,6	0,1	0,2

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,7	3,3	0,21

 

4.

 

5.

 

 

Вариант 5.

 

1.

xi
pi	0,3	0,2	0,1	0,4

 

а=4; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,5	0,1	0,1	0,3	P(Y)	0,6	0,1	0,2	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,9	3,1	0,09

 

4.

 

5.

 

 

Вариант 6.

 

1.

xi
pi	0,3	0,1	0,2	0,4

 

а=4; в=3

 

2.

X					Y
P(X)	0,2	0,3	0,4	0,1	P(Y)	0,4	0,1	0,3	0,2

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,8	3,2	0,16

 

4.

 

5.

 

 

Вариант 7.

 

1.

xi
pi	0,1	0,1	0,5	0,3

 

а=5; в=3

 

2.

X					Y
P(X)	0,1	0,5	0,3	0,1	P(Y)	0,1	0,6	0,1	0,2

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,6	3,4	0,24

 

4.

 

5.

 

 

 

Вариант 8.

 

1.

xi	1,5	2,0	2,5	3,0
pi	0,5	0,2	0,2	0,1

 

а=2; в=4

 

2.

X					Y
P(X)	0,3	0,2	0,1	0,4	P(Y)	0,1	0,4	0,2	0,3

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,4	3,6	0,24

 

4.

 

5.

 

 

Вариант 9.

 

 

1.

xi	1,2	1,4	1,6	1,8
pi	0,4	0,3	0,2	0,1

 

а=2; в=4

 

2.

X					Y
P(X)	0,1	0,1	0,1	0,7	P(Y)	0,7	0,1	0,1	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,2	3,8	0,16

 

4.

 

5.

 

 

 

Вариант 10.

 

1.

xi	2,6	2,7	2,8	2,9
pi	0,5	0,3	0,1	0,1

 

а=2; в=5

 

2.

X					Y
P(X)	0,2	0,3	0,2	0,3	P(Y)	0,3	0,2	0,3	0,2

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,9	2,2	0,36

 

4.

 

5.

 

 

 

Вариант 11.

 

1.

xi
pi	0,6	0,2	0,1	0,1

 

а=2; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,2	0,6	0,1	0,1	P(Y)	0,6	0,2	0,1	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,3	5,4	0,84

 

4.

 

5.

 

 

 

Вариант 12.

 

1.

xi
pi	0,3	0,1	0,3	0,3

 

а=3; в=1

 

2.

X					Y
P(X)	0,2	0,3	0,2	0,3	P(Y)	0,3	0,2	0,3	0,2

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,9	2,8	5,76

 

4.

 

5.

 

а=1 в=3

 

Вариант 13.

 

1.

xi
pi	0,3	0,2	0,2	0,3

 

а=4; в=5

 

2.

X					Y
P(X)	0,7	0,1	0,1	0,1	P(Y)	0,5	0,2	0,2	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,2	2,6	0,64

 

4.

 

5.

 

а=1 в=4

 

Вариант 14.

 

1.

xi
pi	0,2	0,4	0,5	0,1

 

а=3; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,5	0,3	0,1	0,1	P(Y)	0,7	0,1	0,1	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,3	3,1	1,89

 

4.

 

 

5.

 

 

а=1 в=3

 

Вариант 15.

 

1.

xi
pi	0,3	0,3	0,3	0,1

 

а=4; в=3

 

2.

X					Y
P(X)	0,5	0,3	0,1	0,1	P(Y)	0,7	0,1	0,1	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,1	1,9	0,09

 

4.

 

 

5.

 

 

а=0 в=5

 

 

Вариант 16.

 

1.

xi
pi	0,6	0,2	0,1	0,1

 

а=2; в=5

 

2.

X					Y
P(X)	0,5	0,3	0,1	0,1	P(Y)	0,2	0,6	0,1	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,8	3,4	0,64

 

4.

 

 

5.

 

 

а=

 

 

Вариант 17.

 

1.

xi
pi	0,4	0,4	0,1	0,1

 

а=4; в=3

 

2.

X					Y
P(X)	0,5	0,3	0,1	0,1	P(Y)	0,2	0,2	0,2	0,4

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,7	3,3	0,21

 

4.

 

 

5.

 

 

а=0 в=3

 

Вариант 18.

 

1.

xi
pi	0,1	0,1	0,7	0,1

 

а=2; в=4

 

2.

X					Y
P(X)	0,4	0,1	0,1	0,4	P(Y)	0,3	0,3	0,3	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,4	2,6	0,24

 

4.

 

 

5.

 

 

а=0 в=2

 

Вариант 19.

 

1.

xi
pi	0,1	0,3	0,3	0,3

 

а=2; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,6	0,1	0,1	0,2	P(Y)	0,5	0,1	0,1	0,3

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,6	3,2	2,16

 

4.

 

5.

 

Вариант 20.

 

1.

xi
pi	0,5	0,3	0,1	0,1

 

а=3; в=1

 

2.

X					Y
P(X)	0,4	0,4	0,1	0,1	P(Y)	0,2	0,6	0,1	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,5	3,5	0,25

 

4.

 

5.

 

Вариант 21.

 

1.

xi
pi	0,5	0,1	0,3	0,1

 

а=4; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,3	0,1	0,4	0,2	P(Y)	0,4	0,3	0,2	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,6	3,4	0,24

 

4.

 

5.

 

 

a=-3, в=0

 

 

Вариант 22.

 

1.

xi
pi	0,4	0,1	0,1	0,4

 

а=4; в=2

 

2.

X					Y
P(X)	0,1	0,7	0,1	0,1	P(Y)	0,1	0,1	0,7	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,7	3,8	7,56

 

4.

 

5.

 

 

a=-2, в=2

 

 

Вариант 23.

 

1.

xi
pi	0,5	0,1	0,1	0,3

 

а=4; в=3

 

2.

X					Y
P(X)	0,2	0,2	0,2	0,4	P(Y)	0,3	0,4	0,2	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,4	4,4	3,84

 

4.

 

5.

 

 

a= , в=0

 

Вариант 24.

 

1.

xi
pi	0,2	0,2	0,2	0,4

 

а=2; в=4

 

2.

X					Y
P(X)	0,7	0,1	0,1	0,1	P(Y)	0,3	0,4	0,2	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,2	5,8	5,76

 

4.

 

 

5.

 

 

a=-3, в=2

 

 

Вариант 25.

 

1.

xi
pi	0,3	0,2	0,3	0,2

 

а=2; в=5

 

2.

X					Y
P(X)	0,5	0,3	0,1	0,1	P(Y)	0,2	0,4	0,3	0,1

 

3.

P1	M(X)	Д(X)
0,1	3,3	0,09

 

4.

 

5.

 

 

a=-3, в=2 .

 

Типовой расчет №8