Приведем пример расчета НДС однопролетного балочного перехода газопровода с длиной надземной части ℓ= 59,3 м при следующих исходных данных [36]:
1) категория участка – III;
2) наружный диаметр 
и толщина стенки трубы 
– 1020´14,3 мм;
3) нормативное сопротивление растяжению (сжатию) металла сварных соединений (принимается равным минимальному значению предела текучести) – 
=363 МПа;
4) расчетное сопротивление сжатию – 
=270МПа;
5) вес единицы длины трубы – 
=3890 Н/м;
6) вес газа под давлением 7,5 МПа в единице длины 
=737 Н/м;
7) вес снега на единице длины трубы – 
=490 Н/м;
8) вес льда на единице длины трубы – 
=220 Н/м;
9) площадь поперечного сечения стенки трубы – 
=0,045 м2;
10) осевой момент сопротивления – 
= 8,516×10-3 м3;
11) осевой момент инерции поперечного сечения – 
=5,71×10-3 м4;
12) внутреннее рабочее давление – 
=7,5 МПа;
13) перепад температуры эксплуатации и замыкания трубопровода при строительстве – Dt= 40 оСи Dt=-3 0 оС.
Представим результаты расчета НДС перехода для трех вариантов постановки задачи:
1) изгиб трубопровода под действием собственного веса с продуктом, с учетом дополнительного изгиба, вызываемого воздействием внутреннего рабочего давления и температурных напряжений.
Основные характеристики НДС для этого варианта имеют следующие обозначения:
поперечная сила;
изгибные напряжения;
угол поворота продольной оси трубы;
прогиб;
2) то же с пренебрежением воздействия на изгиб трубопровода внутреннего рабочего давления и температурных напряжений.
Основные характеристики НДС для этого варианта имеют следующие обозначения:
поперечная сила;
изгибные напряжения;
угол поворота продольной оси трубы;
прогиб;
3) изгиб трубопровода, который растягивается под воздействием внутреннего давления на закрытую задвижку (заглушку).
Основные характеристики НДС для этого варианта имеют следующие обозначения:
= 1,1 – коэффициент надежности по нагрузке от внутреннего давления;
поперечная сила;
изгибные напряжения;
угол поворота продольной оси трубы;
прогиб.
Для вышепринятых исходных данных имеем следующие значения расчетных характеристик:
1) нагрузка от собственного веса трубопровода с газом, снега и льда
=3890+737+490+220=5337 Н/м = 5,337 кН/м;
2) эквивалентное продольное усилие
= 7110кН;
3) продольное усилие, действующее на защемленных концах трубопровода
= 675,3 кН;
4) продольное растягивающее усилие 
, вызванное воздействием внутреннего рабочего давления на закрытую задвижку (заглушку)
Далее представим эпюры основных характеристик НДС перехода: поперечной силы, изгибных напряжений, угла поворота продольной оси трубы и прогиба для вышеприведенных трех вариантов задачи. В них прогибы продольной оси трубы совпадают с направлением действия вертикальной распределенной нагрузки – веса трубы с продуктом. Если изгибные напряжения положительные, то вогнутость продольной оси трубы обращена вниз. При отрицательных изгибных напряжениях – продольная ось трубы выпуклая, т.е. изогнута вверх.
Представленные на рисунке 2.5 эпюры прогибов, углов поворота продольной оси трубопровода, а также изгибных напряжений и поперечных сил, которые построены по формулам (2.26) - (2.29), (2.37) – (2.40), (2.52) – (2.55), адекватно отображают напряженно-деформированное состояние перехода. Каждая из этих формул связана между собой дифференциальными зависимостями. В частности, там, где функция прогибов достигает по переменной 
экстремальных значений, функция угла поворота пересекает ось ОХ, т.к. она определяется через производную от функции прогиба. Если прогиб убывает, то угол поворота принимает отрицательные значения, а если угол поворота больше 0, то прогиб возрастает. Аналогичные зависимости выполняются между функциями угла поворота и изгибных напряжений, а также между функциями изгибных напряжений и поперечных сил. Таким образом, основные закономерности, которые следуют из дифференциального уравнения изогнутой оси перехода, сохраняются и на эпюрах характеристик НДС.
Максимальные значения прогиба и изгибных напряжений от пролетных и опорных изгибающих моментов для трех вариантов постановки задачи представим в таблице 2.1.
Таблица 2.1 – Максимальные значения прогиба и изгибных напряжений от пролетных и опорных изгибающих моментов (
=7,5 МПа, 
= 40оС)
| Вариант постановки задачи | Прогиб, см | Изгибные напряжения, МПа | |
| от пролетных изгибающих моментов | от опорных изгибающих моментов | ||
| Первый |  = - 30,2
|  =212,2
|  =-313,1
|
| Второй |  = - 14,3
|  = 91,8
|  =-183,6
|
| третий |  = - 9,8
|  =58,3
|  = -143,7
|
Рисунок 2.5 – Расчет основных характеристик НДС балочного перехода газопровода (l0=59,3 м, p0= 7,5 МПа, dt=40 0C, Sx=7110 кН, Sp=6369 кН, Nx= - 675,3кН): а) поперечная сила; б) изгибные напряжения; в) угол поворота продольной оси трубы; г) прогиб
Анализ данных таблицы 2.1 показывает, что пренебрежение в расчетах воздействием внутреннего рабочего давления и температурных напряжений на изгиб трубопровода приводит к уменьшению в 2 раза экстремальных значений характеристик НДС. Растяжение трубопровода при изгибе, что имеет
место при воздействии внутреннего рабочего давления на закрытую задвижку или при наличии компенсатора в конструкции перехода, уменьшает максимальный прогиб и изгибные напряжения от пролетных изгибающих моментов более чем в 3 раза, а изгибные напряжения от опорных изгибающих моментов – более чем в 2 раза.
На рисунке 2.6 представлены основные характеристики НДС перехода для случая, когда =7,5 МПа, а величина = 0оС, т.е. температура эксплуатации перехода равна температуре замыкания при строительстве. Дополнительный изгиб трубопровода происходит только за счет воздействия внутреннего рабочего давления. Сравнение эпюр для 2 варианта постановки задачи на рисунках 2.5 и 2.6 показывает их полное совпадение. Аналогичное совпадение имеет место и для 3 варианта постановки задачи. Это объясняется тем, что во 2 – м варианте пренебрегаем воздействием температурных напряжений, а в 3 – м варианте, где рассматривается растяжение трубопровода от воздействия внутреннего рабочего давления, температурные напряжения отсутствуют.
Сравнение эпюр для 1 – го варианта постановки задачи на рисунках 2.5 и 2.6 показывает уменьшение максимального значения прогиба почти в 2 раза, изгибных напряжений от пролетных изгибающих моментов – почти в 2 раза, а от опорных – в 1,5 раза. Это объясняется уменьшением эквивалентного продольного усилия от 
= 7110 кН до = 2574 кН за счет отсутствия температурных напряжений.
Рисунок 2.6 – Расчет основных характеристик НДС балочного перехода газопровода (l0=59.3 м, p0= 7,5 МПа, dt=0 0C, Sx=2574 кН, Sp=6369 кН, Nx=3861 кН): а) поперечная сила; б) изгибные напряжения; в) угол поворота продольной оси трубы; г) прогиб
Далее рассмотрим случай снижения внутреннего давления до 0 ( = 0 МПа, = 40оС). При сбросе давления уменьшается вес трубы с газом, т.е. уменьшается вертикальная составляющая нагрузки с 5,337 кН/м до 4,6 кН/м, т.к. вес газа в 1 м без избыточного давления пренебрежимо мал (
@0). Тогда дополнительный изгиб трубопровода вызывается только температурными напряжениями. Отсутствует воздействие внутреннего давления на закрытую задвижку, поэтому решение задачи по 2 – му и 3 – му варианту должны совпасть. Это подтверждается характером эпюр на рисунке 2.7, где
представлены основные характеристики НДС перехода для случая = 0 МПа, = 40оС.
На рисунке 2.8 представлены основные характеристики НДС перехода при = 0 МПа и = 0оС для трех вариантов постановки задачи. Здесь все соответствующие эпюры для 3-х вариантов постановки задачи совпадают, что и следовало ожидать.
Практический интерес представляет случай, когда продольное усилие 
=0. Здесь трубопровод, концы которого защемлены грунтом (1–й вариант постановки задачи) испытывает дополнительный изгиб под воздействием эквивалентного продольного усилия
В этом случае уравнение (2.16) совпадает с классическим уравнением, описывающим продольно-поперечный изгиб стержня, один конец которого, например, левый не может перемещаться в продольном направлении, а на другом, правом конце прикладывается продольная сила 
.
В третьем варианте постановки задачи на закрытую задвижку, заглушку (своего рода компенсатор) действует растягивающая продольная сила, равная , а само уравнение (2.45), описывающее НДС перехода, совпадает с классическим уравнением продольно-поперечного изгиба стержня при его растяжении продольной силой, равной 
.
Рисунок 2.7 – Расчет основных характеристик НДС балочного перехода газопровода (l0=59,3 м, p0= 0 МПа, dt=40 0C, Sx=4536 кН, Sp=0 кН, Nx= - 4536 кН)
Рисунок 2.8 – Расчет основных характеристик НДС балочного перехода газопровода (l0=59.3 м, p0= 0, dt=0 0C, Sx=0, Sp=0, Nx=0)
На рисунке 2.9 представлены эпюры основных характеристик НДС перехода для 3 – х вариантов постановки задачи, а в таблице 2.2 приведены максимальные значения прогиба в середине пролета и изгибные напряжения от пролетных и опорных изгибающих моментов.
Таблица 2.2 – Максимальные значения прогиба и изгибных напряжений от пролетных и опорных изгибающих моментов ( =7,5 МПа, = 34 0С)
| Вариант постановки задачи | Прогиб, см | Изгибные напряжения, МПа | |
| от пролетных изгибающих моментов | от опорных изгибающих моментов | ||
| Первый | = - 27,3
| =190,9
| = - 290,8
|
| Второй | = - 14,3
| = 91,8
| = - 183,6
|
| третий | = - 9,8
| =58,3
| = - 143,7
|
Анализ данных таблицы 2.2 показывает, что воздействие внутреннего рабочего давления приводит к увеличению прогиба в 2 раза, к увеличению изгибных напряжений от пролетных изгибающих моментов в 2 раза, к увеличению изгибных напряжений от опорных изгибающих моментов в 1,5 раза.
Если следовать ранней постановке задачи других исследователей, в которых не учитывается воздействие внутреннего рабочего давления, вызывающего дополнительный изгиб трубопровода, то результаты решения задачи по первому и второму варианту должны совпасть, Это объясняется тем, что в ранних исследованиях считается: дополнительный изгиб вызывается только воздействием продольного усилия, возникающим на защемленных концах трубопровода.
Таким образом, в случае, когда на концах защемленного трубопровода отсутствует воздействие продольного усилия, трубопровод испытывает дополнительный изгиб, обусловленный воздействием внутреннего давления. Данный вывод находит свое подтверждение в приведенных нами примерах решения задач классической теории стержней [101,180,204], в которых труба теряет устойчивость от воздействия внутреннего давления при отсутствии действия продольного сжимающего усилия.
Рисунок 2.9 – Расчет основных характеристик НДС балочного перехода газопровода (l0=59,3 м, p0= 7,5 МПа, dt=34 0C, Sx=6369 кН, Sp=6369 кН, Nx=0 кН)