Приведение симметрической матрицы к диагональному виду

Доказано, что для всякого симметрического преобразования евклидова пространства, существует базис из собственных векторов, по которому можно построить ортонормированный базис, в котором матрица преобразования будет иметь диагональный вид.

При этом матрица Т, приводящая симметрическую матрицу А к диагональному виду А_Д, есть матрица перехода от исходного ортонормированного базиса Б₀ к ортонормированному базису из собственных векторов Б_СВ.

Алгоритм приведения симметрической матрицы к диагональному виду таков:

1) Найти собственные числа (корни характеристического уравнения) данной матрицы.

2) Построить ортонормированный базис Б_СВ из собственных векторов.

3) Составить матрицу Q, столбцами которой являются столбцы координат нормированных собственных векторов – эта матрица приводит данную симметрическую матрицу к диагональному виду.

4) Записать диагональную матрицу, на главной диагонали которой стоят собственные значения исходной матрицы (с учетом их кратности), расположенные в порядке нумерации векторов базиса Б_СВ из собственных векторов.

Рассмотрим пример.

Пример 7

Привести симметрическую матрицу к диагональному виду.

Решение

Будем следовать сформулированному алгоритму.

1. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни:

, , ,

откуда , .

Собственные значения и различны, значит, соответствующие им собственные векторы ортогональны.

2. Найдем координаты собственных векторов из системы

При получим систему

Решая эту систему, находим , , откуда первый собственный вектор и ₁ = , нормировав его, получим е ₁ = .

При получим систему

Решая ее, находим , , тогда второй собственный вектор и ₂ = , нормировав его, получим е ₂ = .

Векторы { е ₁. е ₂} образуют базис Б_СВ.

3. Запишем о матрицу, приводящую матрицу А к диагональному виду:

Q = .

4. Искомая диагональная матрица А_Д = .

Определение 12

Преобразование : E ^п ® E ^п называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение двух любых векторов х и у этого пространства, т.е. ( х, у) = (х, у).

Свойства ортогональных преобразований:

1. Ортогональное преобразование является невырожденным.

2. Для каждого ортогонального преобразования существует обратное преобразование, являющееся ортогональным.

3. Произведение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование.

4. Ортогональное преобразование не меняет нормы вектора: || х || = || х ||.

5. Ортогональное преобразование не меняет углов между векторами:

( х,^ у) = (х,^ у).

6. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

7. Матрица ортогонального преобразования в ортонормированном базисе является ортогональной, т.е. . И наоборот, если в ортонормированном базисе матрица оператора – ортогональная, то этот оператор – ортогональный.

8. Собственные значения ортогонального преобразования по абсолютной величине равны 1.

Примерами ортогональных преобразований являются:

1) Преобразование поворота плоскости на угол j относительно начала координат, матрица которого в базисе Б₀: имеет вид .

Действительно, пусть х = (х ₁, x ₂), у = (у ₁, у ₂), тогда

х = ,

у = .

Тогда найдем скалярные произведения (х, у) и ( х, у):

(х, у) = ,

( х, у)

,

откуда ( х, у) = (х, у), т.е. преобразование поворота плоскости на угол j – ортогональное.

2) Зеркальное отражение точек плоскости от оси ОХ, матрица этого преобразования в базисе Б₀: имеет вид .

*) Докажите самостоятельно линейность этого преобразования и преобразования из пункта г).