Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.




Как уже отмечалось, понятие экстремума носит локальный характер, т.е. связано с некоторой окрестностью соответствующей точки. Но если функция непрерывна на отрезке [a; b], то, по теореме Вейерштрасса, на этом отрезке она достигает своего наибольшего и наименьшего значения:

$ х1, х2Î[a; b]: f(x1) £ f(x) £ f(x2) " хÎ[a; b].

Нетрудно понять, что эти значения достигаются либо в точках экстремума функции, принадлежащих этому отрезку, либо в граничных точках отрезка (рис.5).

 

 
 
Рис.5

 


Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) (их называют глобальными экстремумами) на отрезке [a; b], нужно:

1) выяснить, содержится ли данный отрезок в области определения функции;

2) найти критические точки функции, принадлежащие этому отрезку и вычислить значение функции в этих точках;

3) Найти f(а) и f(b);

4) Сравнить все найденные значения функции и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Обозначают эти значения fнаиб. и fнаим. или и соответственно.

В случае, если глобальный экстремум ищется на интервале (а, b), или на полуинтервале [а, +¥), или (–¥, b], то нужно вместо f(а), f(b) вычислить соответствующий предел.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = хе–2х на промежутке [–1, +¥).

Действуя по приведенному алгоритму, имеем

1) Область определения данной функции (-¥; +¥). Очевидно,

[–1, +¥)Ì(-¥; +¥).

2) Найдём критические точки и значения функции в них:

(x) = (хе–2х)¢ = е–2х –2 хе–2х = е–2х(1 – 2х) = 0 Þ Î [–1, +¥), и
;

3) Найдём значения функции на концах промежутка:

f(1) = –е2,

f(+¥) = .

4) Сравним найденные значения: , , f(+¥)=0. Очевидно, , .

Заметим, что если бы значение f (+¥) было бы меньше f(1) = – е2, то ответ был бы таков: наименьшего значения функция на этом промежутке не достигает. Аналогично, если бы f (+¥) > , то функция не достигала бы на данном промежутке наибольшего значения.

 

4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба.

Знак первой производной функции y = f(x) определяет характер роста функции: f ¢(х) > 0 Þ f(х) возрастает, f ¢(х)< 0 Þ f(х) убывает. Но и знак второй производной так же влияет на характер изменения функции.

Действительно, рассмотрим кривую y = f(x). Если f ¢¢(x) = (f ¢(x))¢ > 0, то производная f ¢ возрастает, значит, угол наклона касательной к кривой y = f(x) растёт – касательная поворачивается против часовой стрелки, а кривая изгибается вниз и лежит выше касательных, в этом случае кривую называют вогнутой (рис.6а).

 

Если f ¢¢(x) = (f ¢(x)¢ < 0, то f ¢ убывает, значит, убывает угол наклона касательной, кривая изгибается вверх и лежит ниже касательных. Эта кривая выпуклая (рис.6б).

В общем случае функция y = f(x) называется выпуклой на отрезке [a, b], если " x 1,x2Î[a, b] выполняется

³ .

Но поскольку это определение не наглядно, то рассмотрим такое

Определение 5.2

Кривая y = f(x) (и функция f(x) в том числе) называется выпуклой (выпуклой вверх) на [a, b] если она расположена ниже любой своей касательной.

Кривая y = f(x) (а так же функция f(x)) называетсявогнутой(выпуклой вниз) на [a, b], если она расположена выше любой своей касательной.

Определение 5.3

М0
Точка кривой y = f(x) называется точкой перегиба этой кривой (или функции f(x)), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости кривой.

Теорема 5.9 (необходимое и достаточное условие выпуклости)

Пусть f(x) непрерывна и дважды дифференцируема на (a, b). Для того чтобы, кривая y = f(x) была выпуклой (вогнутой) на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы "xÎ(a, b) f ¢¢ (x) > 0 (f ¢¢ (x) < 0 соответственно).

Теорема 5.10. (необходимое условие точки перегиба)

Если (x0, f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x), то f ¢¢ (x0) равна нулю или не существует.

Точки x0Î [a, b], в которой f ¢¢ (x0) = 0 или не $, называются критическими точками 2-го рода функции y = f(x). Не всякая критическая точка определяет точку перегиба.

Например: у = x4, y¢= 4x3, y ¢¢ = 12x2 , значит, x = 0 – критическая точка, но перегиба в этой точке график функции не имеет.

Но из определения точки перегиба и теоремы 5.10 следует достаточное условие точки перегиба кривой.

Теорема 5.11.(достаточное условие точки перегиба)

Критическая точка x0 есть абсцисса точки перегиба (x0, f(x0) кривой , если при переходе через эту точку f ¢¢(x) меняет знак.

Алгоритм исследования выпуклости и точек перегиба

1. Найти область определения D(f) функции f(x);

2. Найти критические точки xi второго рода: f ¢¢ (xi) = 0 или не $;

3. Определить знак f ¢¢ (x) в каждом из интервалов, на которые критические точка xi разбивают D(f).

4. Там, где f ¢¢ (x) > 0, кривая y = f(x) вогнутая, где f ¢¢ (x) < 0 – выпуклая;

5. Точки xk , при переходе через которые меняется знак f ¢¢ (x), есть абсциссы точек перегиба. Найти f(xk), записать координаты точек перегиба (xk , f(xk)) графика функции.

Общая схема исследования функции.

Мы рассмотрели характерные особенности изменения функции и ее графика, а так же способы изучения этих особенностей. Эта теория может быть использована при полном исследовании функции с целью подробного построения ее графика.

Общая схема исследования функции y = f(x) и построение её графика включает следующие этапы:

1. Область определение функций D(f).

2. Свойства: чётность, нечётность, симметрия, график, периодичность

3. Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства (y >0, y < 0).

4. Непрерывность, классификация точек разрыва.

5. Асимптоты графика.

6. Интервалы монотонности, точки экстремума .

7. Интервалы выпуклости, точки перегиба.

8. Построение графика.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Придерживаемся указанного алгоритма.

1. D (f) = (-¥; 1)È(1; ¥)

2. D (f) – не симметрична Þ функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая, т.к. не имеет тригонометрических составляющих.

3. Пересечение с OX Þ y = 0, = 0 Þ x = 0, точка (0, 0) есть точка пересечения с ОХ.

Пересечение с OYÞ x = 0 Þ y = 0 – та же точка (0, 0).

4. Так как y= - элементарная, то область ее непрерывности совпадает с областью определения D(f), тогда x = 1 – точка разрыва. Находим

,

,

значит, x=1– точка разрыва II рода (бесконечного разрыва).

5. Из предыдущего пункта следует, что x = 1 – вертикальная асимптота графика данной функции. Найдем наклонные асимптоты:

k = =1, b = =0,

значит, y = x – наклонная асимптота.

6. Найдем интервалы монотонности и экстремумы:

,


Тогда у¢ = 0 Þ , откуда x = 0, ;

y¢ не существует при х =1 Ï D(f).

Область определения функции этими точками разбивается на 4 интервала, определим знак производной на каждом из этих интервалов (взяв, например промежуточные точки х=-1, х=0,1, х=1,1, х=2 и вычислив в этих точках значения у¢). Получим:

 

Значит, x = 0 – точка max, ymax=y(0) = 0; x= – точка min, y( ) = .

На интервалах (– ¥, 0) и ( ,+¥) функция возрастает, а на интервалах (0, 1) и (1, ) функция убывает.

7. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции.

,

откуда у¢¢ = 0 при x = 0 и , y¢¢ не существует при x=1Ï D(f).

Эти точки разбивают область определения функции на 4 интервала. Определяем знак у¢¢ на каждом из них, взяв, например, промежуточные точки х=-2, х=-1, х=0,5, х=2 и вычислив в этих точках значения у¢¢. Получим:

 
 

 

 


При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, - абсцисса точки перегиба. Находим

y = ,

значит, точка ( , ) – точка перегиба. Других точек перегиба нет.

На интервалах (– ¥, ) и (1, +¥) график функции вогнутый.

На интервале ( , 1) – график выпуклый.

 

8. Сведем полученные результаты в таблицу:

 

X (-¥; ) ( ; 0) (0, 1) (1; ) ( ;¥)
у¢ + - + - - +
у¢¢ + - - +   +
у у® у = х при х® –¥     у(1–0)=–¥     у(1+0)=+¥ у® у = х при х® +¥

По этим данным построим график функции.

 
 

 

...





Читайте также:
Роль химии в жизни человека: Химия как компонент культуры наполняет содержанием ряд фундаментальных представлений о...
Роль языка в формировании личности: Это происходит потому, что любой современный язык – это сложное ...
Тест Тулуз-Пьерон (корректурная проба): получение информации о более общих характеристиках работоспособности, таких как...
Общие формулы органических соединений основных классов: Алгоритм составления формул изомеров алканов...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.021 с.