Свойства показательной функции




Объяснение нового материала

Определение. Функция вида называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:

a = 0 Выражения вида 0 x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю.
a = 1 Выражение 1 x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице).
a < 0 Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем.

Само аналитическое выражение ax в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения xy точка x = 1; y = 1входит в область допустимых значений.

Построить графики функций: у = (0.5)^x и y = 2^x.

у = (0.5)^x
График показательной функции
y = a x, a > 1 y = a x, 0< a < 1

Свойства показательной функции

Свойства показательной функции y = a x, a > 1 y = a x, 0< a < 1
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей при x > 0, a x >1 при x > 0, 0< a x < 1
при x < 0, 0< a x < 1 при x < 0, a x >1
4. Чётность, нечётность. Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность. монотонно возрастает на R монотонно убывает на R
6. Экстремумы. Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота Ось O x является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях x и y;

Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.

Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).

Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).

На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).

Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).

Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Вывод:

 

при x < 0 чем больше значение основания степени, тем ближе к оси O x располагается график показательной функции;
при x = 0 графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1);
при x > 0 чем больше значение основания степени, тем дальше от осиO x располагается график показательной функции.

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Вывод:

при x < 0 чем меньше значение основания степени, тем дальше от оси O x располагается график показательной функции;
при x = 0 графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1);
при x > 0 чем меньше значение основания степени, тем ближе к осиO x располагается график показательной функции.

 

Число одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченномвозрастании n. Обозначение e ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи, а само число назвали в честь Непера «неперовым числом». Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e, называется экспонентой и обозначается y = ex. Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять.

Домашнее задание:

Колмогоров п. ____________________________________________

Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: