Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые.
Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).
Площадь каждого кольца можно рассчитать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца: dA = 2πp dp.
Подставим это выражение для площади в формулу для полярного момента инерции: 
Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:
Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:
где d — наружный диаметр кольца; dBH — внутренний диаметр кольца.
Если обозначить d BH /d = с, то
212 Лекция 25
Осевые моменты инерции круга и кольца
Используя известную связь между осевыми и полярными моментами инерции, получим:
Моменты инерции относительно параллельных осей
Оси Ox 0 и Ох параллельны (рис. 25.4).
При параллельном переносе прямоугольной системы осей у о Ох ов новое положение у о Ох значения моментов инерции Jx, Jy, Jxy заданного сечения меняются. Задается формула перехода без вывода.
здесь Jx — момент инерции относительно оси Ох;
JX 0— момент инерции относительно оси Ox 0;
А — площадь сечения;
а — расстояние между осями Ох и Ox 0.
Главные оси и главные моменты инерции
Главные оси — это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и максимальный.
Главные центральные моменты инерции рассчитываются относительно главных осей, проходящих через центр тяжести.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 213
Решение
1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Используем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямоугольника.
bh3
Для прямоугольника JX02 = ——.
12
Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ.
Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:
где А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ox0.
Момент инерции сечения
2. Осевой момент инерции относительно оси Оу:
Момент инерции сечения
214 Лекция 25
Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сечения относительно оси Ох (рис. 25.6).
Решение
1. Сечение составлено из стандартных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1.
Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox1 = 572 см4.
Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox2 = 757 см4.
Площадь А2 = 18,1 см2, Joy2 = 63,3 см4.
2. Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят.
При этом главные центральные оси поменялись местами.
y2 = (h1/2) + d2 — zo2; по ГОСТ находим h1 = 14 см; d 2 = 5 мм; z o = 1,8 см.
3. Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции
швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу
моментов инерции относительно параллельных осей:
В данном случае J ´qX2 = J ´qу2 = 63,3 см4;
y2 = (14/2) + 0,5 — 1,8 = 5,7 см (расстояние между осями координат Ох' и Ох);
Контрольные вопросы и задания
1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз
увеличатся осевые моменты инерции? 
2. Осевые моменты сечения равны соответственно Jx = 2,5 мм4 и Jy = 6,5 мм. Определите полярный момент сечения.
3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох Jx = 4 см4. Определите величину Jp.
Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 215
4. В каком случае Jx наименьшее (рис. 25.7)?
5. Какая из приведенных формул для определения Jx подойдет
для сечения, изображенного на рис. 25.8?
6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси JXo = 174см4; площадь поперечного сечения 10,9 см2.
Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).
7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).
8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).
