ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
методические указания
и индивидуальные задания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
института транспорта
очной формы обучения
Тюмень 2003
Утверждено редакционно–издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: Бакановская Н.Н., ассистент
Редактор: Скалкина М.А., к.ф.–м.н., профессор
© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
Предлагаемая работа предназначена помочь студентам, изучающим векторную алгебру, получить навыки решения стандартных задач.
Перед выполнением индивидуальных заданий рекомендуем ознакомиться с решением заданий нулевого варианта, изложенных в данных методических указаниях.
З а д а н и е 1. Написать разложение вектора 
по векторам 
, 
, 
, если 
, 
, 
, 
.
Р е ш е н и е. Запишем вектор 
в виде линейной комбинации векторов , и : 
. Найдем коэффициенты 
, 
, 
. Для этого запишем разложение вектора в координатной форме:
Подставим координаты заданных векторов. Получим систему
решив которую, найдем коэффициенты 
. Т.е. 
.
З а д а н и е 2. Найти угол между векторами 
и 
, если 
, 
, 
, 
.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 
. Определим координаты векторов и 
, при этом учтем, что при умножении вектора на число, мы умножаем на это число каждую координату этого вектора, а при сложении векторов – складываем одноименные координаты: 
, 
.
Найдем скалярное произведение векторов и 
и их длины. 
, 
, 
. Подставив в формулу, получим 
. Отсюда 
.
З а д а н и е 3. Найти проекцию вектора 
на вектор 
, если 
, 
, 
.
Р е ш е н и е. Проекция вектора на вектор находится по формуле 
. Определим координаты векторов и , их скалярное произведение и длину вектора : 
, 
, 
, 
. Тогда 
.
З а д а н и е 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, если 
, 
.
Р е ш е н и е.
Площадь параллелограмма будем искать по формуле 
. Для этого найдем сначала координаты векторов и , а затем их векторное произведение. 
, 
,
.
Вычислим модуль полученного векторного произведения, который и будет численно равен искомой площади параллелограмма: 
З а д а н и е 5. Параллелограмм построен на векторах 
и 
, где 
, 
, 
^ 
. Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.
Р е ш е н и е.
, 
,
Угол между диагоналями обозначим буквой 
, тогда
Следовательно, 
З а д а н и е 6. Компланарны ли векторы 
, 
, 
?
Р е ш е н и е. Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов:
векторы некомпланарны.
З а д а н и е 7. Точки 
являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани 
и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Р е ш е н и е. Объем пирамиды будем 
искать по формуле 
, где , и –векторы, совпадающие с ребрами пирамиды. В нашем случае такими векторами будут 
.
Найдем координаты этих векторов, а затем их смешанное произведение.
Теперь найдем площадь грани по формуле 
.
. Тогда площадь грани будет равна 
Т.к. 
, то высота H = 
, опущенная на грань , равна 
.
З а д а н и е 8. Найти вектор 
, перпендикулярный к векторам 
и 
и удовлетворяющий условию 
.
Р е ш е н и е. Пусть вектор 
имеет координаты 
. Т. к. вектор перпендикулярен векторам и , то 
. Запишем все три скалярных произведения в координатной форме:
Решив полученную систему, получим, что 
.
З а д а н и е 9. Зная векторы 
и 
, совпадающие с двумя сторонами треугольника, найти угол при вершине 
и площадь треугольника.
Р е ш е н и е. Угол при вершине – это угол между векторами 
и 
. Вектор 
, тогда 
,
отсюда 
.
Теперь найдем площадь треугольника: 
, 
.
З а д а н и е 10. Сила 
приложена к точке 
. Определить момент этой силы относительно точки 
.
Р е ш е н и е. Момент силы 
относительно точки 
есть вектор 
. Найдем координаты вектора 
и искомого вектора 
: 
, 
, т.е. 
.
Индивидуальные задания по векторной алгебре
Задание 1. Написать разложение вектора по векторам , 
, .
1. ={15; –20; –1}, ={0; 2; 1}, ={0; 1; –1}, ={5; –3; 2}.
2. ={2; 7; 5}, ={1; 0; 1}, ={1; –2; 0}, ={0; 3; 1}.
3. ={8; –7; –13}, ={0; 1; 5}, ={3; –1; 2}, ={–1; 0; 1}.
4. ={0; –8; 9}, ={0; –2; 1}, ={3; 1; –1}, ={4; 0; 1}.
5. ={ –13; 2; 18}, ={1; 1; 4}, ={–3; 0; 2}, ={1; 2; –1}.
6. ={11; –1; 4}, ={1; –1; 2}, ={3; 2; 0}, ={–1; 1; 1}.
7. ={–1; 7; 0}, ={0; 3; 1}, ={1; –1; 2}, ={2; –1; 0}.
8. ={3; 1; 3}, ={2; 1; 0}, ={1; 0; 1}, ={4; 2; 1}.
9. ={23; –14; –30}, ={2; 1; 0}, ={1; –1; 0}, ={–3; 2; 5}.
10. = {8; 9; 4}, = {1; 0; 1}, ={0; –2; 1}, ={1; 3; 0}.
11. ={–15; 5; 6}, ={0; 5; 1}, ={3; 2; –1}, ={–1; 1; 0}.
12. ={–5; 9; –13}, ={0; 1; –2}, ={3; –1; 1}, ={4; 1; 0}.
13. ={–9; –8; –3}, ={1; 4; 1}, ={–3; 2; 0}, ={1; –1; 2}.
14. ={8; 1; 12}, ={1; 2; –1}, ={3; 0; 2}, ={–1; 1; 1}.
15. ={3; 1; 8}, ={0; 1; 3}, ={1; 2; –1}, ={2; 0; –1}.
16. ={8; 0; 5}, ={2; 0; 1}, ={1; 1; 0}, ={4; 1; 2}.
17. ={11; 5; –3}, ={1; 0; 2}, ={–1; 0; 1}, ={2; 5; –3}.
18. ={2; –1; 11}, ={1; 1; 0}, ={0; 1; –2}, ={1; 0; 3}.
19. ={5; 15; 0}, ={1; 0; 5}, ={–1; 3; 2}, ={0; –1; 1}.
20. ={6; –1; 7}, ={1; –2; 0}, ={–1; 1; 3}, ={1; 0; 4}.
21. ={6; 5; –14}, ={1; 1; 4}, ={0; –3; 2}, ={2; 1; –1}.
22. ={–1; 7; –4}, ={–1; 2; 1}, ={2; 0; 3}, ={1; 1; –1}.
23. ={3; 3; –1}, ={3; 1; 0}, ={–1; 2; 1}, ={–1; 0; 2}.
24. ={3; –3; 4}, ={1; 0; 2}, ={0; 1; 1}, ={2; –1; 4}.
25. ={–19; –1; 7}, ={0; 1; 1}, ={–2; 0; 1}, ={3; 1; 0}.
26. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; –1; 3}, ={1; 0; –1}.
27. ={–5; –5; 5}, ={–2; 0; 1}, ={1; 3; –1}, ={0; 4; 1}.
28. ={–9; 5; 5}, ={4; 1; 1}, ={2; 0; –3}, ={–1; 2; 1}.
29. ={1; –4; 4}, ={2; 1; –1}, ={0; 3; 2}, ={1; –1; 1}.
30. ={6; 12; –1}, ={1; 3; 0}, ={2; –1; 1}, ={0; –1; 2}.
Задание 2. Найти угол между векторами и 
, если:
1. ={–1; 2; 8}, ={3; 7; –1}, = 4 – 3 , = 9 – 12 .
2. ={2; 0; –5}, ={1; –3; 4}, = 2 – 5 , = 5 – 2 .
3. ={4; 2; –7}, ={5; 0; –3}, = – 3 , = 6 – 2 .
4. ={–1; 3; 4}, ={2; –1; 0}, = 6 – 2 , = – 3 .
5. ={5; 0; 8}, ={–3; 1; 7}, = 3 – 4 , = 12 – 9 .
6. ={2; –1; 6}, ={–1; 3; 8}, = 5 – 2 , = 2 – 5 .
7. ={4; 2; 9}, ={0; –1; 3}, = 4 – 3 , = 4 – 3 .
8. ={9; 5; 3}, ={7; 1; –2}, = 2 – , = 3 + 5 .
9. ={5; –1; –2}, ={6; 0; 7}, = 3 – 2 , = 4 – 6 .
10. ={2; –1; 4}, ={3; –7; –6}, = 2 – 3 , = 3 – 2 .
11. ={3; 7; 0}, ={4; 6; –1}, = 3 + 2 , = 5 – 7 .
12. ={1; –2; 4}, ={7; 3; 5}, = 6 – 3 , = – 2 .
13. ={3; –1; 6}, ={5; 7; 10}, = 4 – 2 , = – 2 .
14. ={8; 3; –1}, ={4; 1; 3}, = 2 – , = 2 – 4 .
15. ={5; 0; –2}, ={6; 4; 3}, = 5 – 3 , = 6 – 10 .
16. ={7; 9; –2}; ={5; 4; 3}, = 4 – , = 4 – .
17. ={–1; 2; –1}, ={2; –7; 1}, = 6 – 2 , = – 3 .
18. ={3; 7; 0}, ={1; –3; 4}, = 4 – 2 , = – 2 .
19. ={–2; 7; –1}, ={–3; 5; 2}, = 2 + 3 , = 3 + 2 .
20. ={0; 3; –2}, ={1; –2; 1}, = 5 – 2 , = 3 + 5 .
21. ={5; 0; –1}, ={7; 2; 3}, = 2 – , = 3 – 6 .
22. ={1; 4; 2}, ={3; –2; 6}, = 2 – , = 3 – 6 .
23. ={–2; –3; –2}, ={1; 0; 5}, = 3 + 9 , = – – 3 .
24. ={3; 4; –1}, ={2; –1; 1}, = 6 – 3 , = – 2 .
25. ={1; –2; 5}, ={3; –1; 0}, = 4 – 2 , = – 2 .
26. ={1; 4; –2}, ={1; 1; –1}, = + , = 4 + 2 .
27. ={3; 5; 4}, ={5; 9; 7}, = – 2 + , = 3 – 2 .
28. ={1; 2; –3}, ={2; –1; –1}, = 4 + 3 , = 8 – .
29. ={–2; 4; 1}, ={1; –2; 7}, = 5 + 3 , = 2 –
30. 
={1; 0; 1}, ={–2; 3; 5}, = + 2 , = 3 – .
Задание 3. Найти проекцию вектора на вектор , если:
1. А (–2; 4; –6), В (0; 2; –4), С (–6;8;–10).
2. А (–4; 0; 4), В (–1; 6; 7), С (1; 10; 9).
3. А (0; 1; 0), В (0; 2; 1), С (1; 2; 0).
4. А (1; 4; –1), В (–2; 4; –5), С (8; 4; 0).
5. А (–2; 1; 1), В (2; 3; –2), С (0; 0; 3).
6. А (3; 3; –1), В (5; 1; –2), С (4;1;–3).
7. А (0; 3; –6), В (9; 3; 6), С (12; 3;3).
8. А (–1;2;–3), В (0;1;–2), С (–3;4;–5).
9. А (2;2;7), В (0;0;6), С (–2;5;7).
10. А (2;3;2), В (–1;–3;–1), С (–3;–7;–3).
11. А (7;0;2), В (7;1;3), С (8;–1;2).
12. А (1; –1;0), В (– 2;– 1;4), С (8;–1;–1).
13. А (– 4;3;0), В (0;1;3), С (–2;4;–2).
14. А (3;3;–1), В (5;1;–2), С (4;1;1).
15. А (0;2;–4); В (8;2;2); С (6;2;4).
16. А (3;–6;9), В (0;–3;6), С (9; –12; 15).
17. А (2;–8;–1), В (4;–6;0), С (–2; –5; –1).
18. А (0;0;4), В (–3;–6;1), С (–5; –10; –1).
19. А (6;2;–3), В (6;3;–2), С (7; 3; –3).
20. А (–1;–2;1), В (–4;–2;5), С (–8; –2; 2).
21. А (2; 1; –1), В (6; –1; –4), С (4; 2; 1).
22. А (3; 3; –1), В (1; 5; –2), С (4;1;1).
23. А (0; 1; –2), В (3; 1; 2), С (4; 1; 1).
24. А (2; –4; 6), В (0; –2; 4), С (6;–8; 10).
25. А (–3; –7; –5), В (0;–1;–2), С (2;3;0).
26. А (5; 3; –1), В (5; 2; 0), С (6;4;–1).
27. А (–4; –2; 0), В (–1; –2; 4), С (3;–2;1).
28. А (–1; 2; –3), В (3; 4; –6), С (1; 1; –1).
29. А (3; 3; –1), В (5;5;–2), С (4; 1; 1).
30. А (0; –3; 6), В (–12; –3; –3), С (–9; –3; –6).
Задание 4. Параллелограмм построен на векторах и` . Вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма.
1. = 3 + 2 ; = 2 – ; | | = 4; | | = 3; ( ^ ) = 3p/4.
2. = 2 – 3 ; = 5 + ; | | = 2; | | = 3; ( ^ ) = p/2.
3. = 2 + 3 ; = – 2 ; | | = 2; | | = 1; ( ^ ) = p/3.
4. = 6 – ; = 5 + ; | | = 1/2; | | = 4; ( ^ ) = 5p/6.
5. = 3 – 4 ; = + 3 ; | | = 2; | | = 3; ( ^ ) = p/4.
6. = 5 – ; = + ; | | = 5; | | = 3; ( ^ ) = 5p/6.
7. = 3 + ; = – 3 ; | |= 7; | | = 2; ( ^ ) = p/4.
8. = + 3 ; = 3 – ; | | = 3; | | = 5; ( ^ ) =2p/3.
9. = 7 + ; =